Feladat: 871. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Tolnay-Knefély Tibor 
Füzet: 1964/május, 217 - 218. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Magasságvonal, Szögfelező egyenes, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1963/november: 871. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A derékszög felezője vagy az átfogóhoz tartozó magassággal egyenlő, vagy az egyik befogóhoz tartozó magassággal (azaz a másik befogóval). Mindkét esetre meg kell oldanunk a feladatot.
Az első esetben egybe is kell esnie a szögfelezőnek a magassággal, mert különben egy olyan derékszögű háromszög átfogója volna a szögfelező, amelynek a magasság befogója, s így kisebb az átfogónál. Ekkor a derékszögű háromszög egyenlő szárú is, megszerkeszthető tehát pl. úgy, hogy az átfogó felezőpontjában állított merőlegesre felmérjük az átfogó felét, a végpont a derékszög csúcsa.

 
 

A második esetben az egyik befogóhoz tartozó magasság a másik befogó, talppontja a derékszög csúcsa, ami egyszersmind a szóban forgó felező kiinduló pontja. Így a két szakasz egyenlő szárú háromszöget alkot, a köztük levő szög 45∘, ennélfogva az alapon levő szögek 67,5∘-osak. Ezek egyike magának a keresett derékszögű háromszögnek a szöge, ezért a derékszögű háromszög másik hegyes szöge 22,5∘, ami a derékszög negyedrésze.
Eszerint a háromszöget megkaphatjuk úgy, hogy az átfogó egyik végpontjában derékszöget szerkesztünk, azt megfelezzük, és az átfogó melletti felének is a felét vesszük, végül az utóbbi felezőre az átfogó másik végpontjából merőlegest bocsátunk, ez metszi ki a derékszög csúcsát. Ehhez felhasználhatjuk az átfogó fölé írt Thalész-kört is.
 
 Tolnay Knefély Tibor (Budapest, Bláthy O. Erősáramú ip. techn. I. o. t.)
 
Megjegyzés. Megszerkeszthetjük a derékszög csúcsát úgy is, hogy az átfogó mint átmérő fölé írt félkört a középpontjából húzott és az átfogóval 45∘-ot bezáró egyenessel metsszük, mert akkor a félkör keletkezett kisebb ívén 22,5∘-os kerületi szög fekszik.