Kezdőlap


Feladat:	869. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bod Judit
Füzet:	1964/május, 216 - 217. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/november: 869. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a délelőtt eladott almák számát $a$ -val, a délután eladottak számát $b$ -vel. Átlagos darabáron az összes bevétel és az összes darabszám hányadosát értjük, ami jelöléseinkkel minden esetre

\begin{matrix} d = \frac{a A + b B}{a + b} . \end{matrix}

John esetében

b = a

, ezért

\begin{matrix} d = \frac{a (A + B)}{2 a} = \frac{A + B}{2} . \end{matrix}

Bill esetében

a A = b B

, tehát

b = a A / B

\begin{matrix} d = \frac{2 a A}{a + \frac{a A}{B}} = \frac{2 A B}{A + B} . \end{matrix}

Végül George esetében

a : b = \frac{5}{3} : \frac{5}{2}

, és ez megegyezik a feladat

B

és

A

adatainak arányával;

a : b = B : A

.
Innen már látható, hogy átlagárnak ugyanazt kapjuk, mint Bill esetében.
Számszerűen John

25 / 12

centért adta el almáinak darabját, Bill és George pedig

2

centért, vagyis

1 / 25

résszel,

4 %

-kal olcsóbban.

Bod Judit (Bp., Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., I. o. t.)

Megjegyzés. Az utóbbi két átlagos darabárra talált összefüggés egyszerűbben írható, ha áttérünk

d

reciprokára és tagonként osztunk:

\begin{matrix} \frac{1}{d} = \frac{A + B}{2 A B} = \frac{\frac{1}{A} + \frac{1}{B}}{2} . \end{matrix}

Ebben az esetben

d

-t az

A

és

B

számok harmonikus középértékének nevezik. Az összefüggést így is mondhatjuk: két szám harmonikus közepének reciproka egyenlő a számok reciprokainak számtani közepével (természetesen

A

B

egyike sem lehet

0