Kezdőlap


Feladat:	868. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baranyai Zsolt
Füzet:	1964/május, 215 - 216. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számelrendezések, Egész számok összege, Konstruktív megoldási módszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/november: 868. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A felírt egyenlőségek helyesek, a két oldal közös értéke rendre $1$ , $9$ , $35$ , $91$ .
A bal oldalon egymás utáni egész számok összege áll, az utolsó tagok rendre az egymás utáni négyzetszámok; minden sor első tagja viszont az előző sor utolsó tagja után következő szám. Ezek alapján a következő sor bal oldalára a következő összeg kerül: $17 + 18 + 19 + ... + 25$ , ennek értéke $189$ . A jobb oldalon két egymás utáni szám köbének az összege áll, a nagyobbik annak a számnak a köbe, aminek a négyzetével a bal oldal befejeződött, a következő sorba tehát a $4^{3} + 5^{3} = 64 + 125 = 189$ összeget kell írnunk, amivel valóban egyenlőségre jutunk:

\begin{matrix} 17 + 18 + 19 + 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 = 64 + 125. \end{matrix}

A két oldal közös értéke a 2‐4. sorok esetében csak egy-egyféleképpen írható két tényezős szorzat gyanánt (

1

-et nem engedjük meg tényezőnek):

\begin{matrix} 3 \cdot 3, 5 \cdot 7, 7 \cdot 13. \end{matrix}

Ezekben a felbontásokban az első tényező a megfelelő sor bal oldalán álló tagok száma, a második tényező pedig a nagyságra nézve középső tag. Az 5. sor két oldalának közös értéke

3

-féleképpen írható két tényezős szorzat alakban:

\begin{matrix} 189 = 3 \cdot 63 = 7 \cdot 27 = 9 \cdot 21, \end{matrix}

közülük az utolsóban megismétlődik az észrevett szabályszerűség.
Az 5. sor képezésénél követett szabályszerűségek alapján a 20. sor bal oldalára a

19^{2} + 1 = 362

-től

20^{2} = 400

-ig terjedő egész számok összege kerül. A tagok száma

400 - 361 = 39

, közülük a középső, a 20-adik

381

. A jobb oldalra kerülő összeg

19^{3} + 20^{3}

.
A bal oldal összegét kiszámíthatjuk annak alapján, hogy egy a

381

előtt álló és az ugyanannyival utána álló tag összege mindig

2 \cdot 381

-et ad, mert amennyivel az előbb következő tag kisebb

381

-nél, ugyanannyival nagyobb a későbbi tag.

19

ilyen pár képezhető; hozzávéve még a középső tagot, összesen

2 \cdot 19 + 1 = 39

-szer kapjuk a középső tagot,

381

-et. Így az összeg értéke

39 \cdot 381 = 14 859

. A jobb oldali két köbszám összegéből kiemelve az alapok összegét, azt kapjuk, hogy

19^{3} + 20^{3} = (19 + 20) \cdot (19^{2} - 19 \cdot 20 + 20^{2}) = 39 \cdot [19^{2} + 20 (- 19 + 20)] = 39 \cdot 381 = 14 859

.
Az egyenlőség tehát a 20. sornál is fennáll.
Az itt követett gondolatmenet alkalmas annak megmutatására is, hogy a talált szabályosság szerint felírt akárhányadik sor helyes egyenlőségre vezet, és a két oldal közös értéke a bal oldali tagok számának és a középső tagnak a szorzataként írható.

Baranyai Zsolt (Budapest, Rákóczi F. Gimn. II. o. t.)