Feladat: 865. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bárány Imre ,  Baranyai Zs. ,  Baranyai Zsuzsa ,  Belső B. ,  Berkes István ,  Bóta Károly ,  Cser János ,  Cser L. ,  Domokos László ,  Domokos Zsuzsanna ,  Fekete Gabriella ,  Fodor Magdolna ,  Gaizler Judit ,  Havas János ,  Herényi István ,  Hirka F. ,  Jancsó M. ,  K. Kiss Teréz ,  Kotsis Erzsébet Kinga ,  Kövesdi Gy. ,  Lévai F. ,  Lippner György ,  Malina János ,  Molnár Ida ,  Németh L. ,  Palánkai T. ,  Sarkadi Nagy I. ,  Surányi László ,  Szeidl L. ,  Tényi G. ,  Újvári Mária ,  Vesztergombi Katalin ,  Vicsek László ,  Vicsek Tamás ,  Zanyi András 
Füzet: 1964/szeptember, 12 - 13. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Alakzatok egybevágósága, Alakzatok szimmetriái, Tengelyes tükrözés, Trapézok, Húrnégyszögek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1963/október: 865. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Ha C2 az e-nek a C1-et nem tartalmazó partján adódik (1. ábra), akkor a tükrözés miatt BAC2∢=BAC1∢. Egyenlő kerületi szögek szárai között a körnek egyenlő ívei vannak, továbbá egyenlő ívekhez egyenlő húrok tartoznak, tehát BC2=BC1. Meggondolásunk akkor is érvényes, ha C2 (vagy C1) az e-n keletkezik, egybeesik A-val, mert ekkor f tükörképe (ill. maga f) érinti k-t.

 

Ha C2 az e-nek a C1-et tartalmazó partján adódik (2. ábra), akkor k-nak B-vel átellenes pontját B'-vel jelölve AB' merőleges e-re, tehát az AC2 egyenes úgy is előáll f-ből, ha ezt AB'-re tükrözzük. AB' viszont szétválasztja C1-et és C2-t, mert a BAC2 szög ekkor a BAC1 szög kiegészítő szögének tükörképe, és így BAC1 és BAC2 egyike hegyesszög, másika tompaszög. Eszerint a fenti bizonyítás érvényes, B helyén B'-t véve: B'C1=B'C2. Minthogy pedig BB' a kör szimmetriatengelye, ezért egyszersmind BC1=BC2. Ezzel a bizonyítást befejeztük.
 
 Bárány Imre (Budapest, Corvin Mátyás g. II. o. t.)
 
 
1.ábra és 2.ábra
 

II. megoldás. Tükrözzük f-et AB-nek m felező merőlegesére, messe a tükörkép k-t D-ben. Ekkor BD és AC2 párhuzarnosak, mert egy egyenesnek két egymásra merőleges tengelyre vonatkozó tükörképei. Így A, B, C2, D egy húrtrapéz csúcsai, ennek szárai is, átlói is egyenlők, tehát BC2=AD=BC1.
 
 Bóta Károly (Budapest, Fazekas M. gyak. g. II. o. t.)
 
III. megoldás. Tükrözzük C2-t, az AB egyenesre, a C3 tükörkép az AC1 egyenesre esik. Elég megmutatni, hogy a BC1C3 háromszög egyenlő szárú: B-ből induló oldalai egyenlők, hiszen BC3=BC2; az egyenlőszárúság viszont következik abból, ha megmutatjuk, hogy a C1C3 oldalon nyugvó két szög egyenlő.
Ha C2 a C1-et nem tartalmazó AB íven van, akkor AC1B∢+AC2B∢=AC1B∢+AC3B∢=180∘; a BC1C3 háromszög C1-nél és C3-nál levő szögei viszont a két szög közül a hegyes szög és a tompaszöget 180∘-ra kiegészítő szög, ezek a nyert összefüggés szerint egyenlők.
Ha C1 és C2 ugyanazon az AB íven vannak, akkor a BC1C3 háromszög szóban forgó két szöge az AC1B és AC2B szöggel egyenlő, és ezek egyenlők, mert ugyanazon az íven nyugszanak. Ezzel a feladat állítását igazoltuk.