Feladat: 859. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Soltész Péter 
Füzet: 1964/április, 164 - 165. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Számelrendezések, Tizes alapú számrendszer, Szorzat, hatvány számjegyei, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1963/október: 859. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a kert hossza ABC¯, szélessége DE¯, és a területét megállapító szorzás

|ABC⋅DE|FG1|HJK7|LMNP7
ahol a betűk számjegyeket jelölnek, köztük lehetnek egyenlők is, azonban nyilvánvalóan E>D, továbbá A, D, F, H értéke nem 0, L értéke csak 0 vagy 1 lehet, éspedig L=0 esetén M≠0, N=P=0, ha pedig L=1, akkor M, N és P közül kettőnek az értéke 0.
A részletszorzatok utolsó jegye szerint C, D és E páratlanok, és 5-től különbözők. Az 1, 3, 7, 9 számokból képezett kéttényezős szorzatok közül
 

1-re végződik, C⋅D-re szóba jön 1⋅1, 3⋅7, 7⋅3, 9⋅9,
7-re végződik, C⋅E-re szóba jön 1⋅7, 3⋅9, 7⋅1, 9⋅3,
 

A szorzatokat a C tényező szerint oszlopokba rendeztük, D<E csak az 1. és 2. oszlopban teljesül, a további két pár nem adhat megoldást.
 

I. Legyen először C=D=1, E=7, így F=A és G=B, továbbá tegyük fel, hogy a szorzatban az egyik 0-jegy P. Ekkor K=9, vagyis a B⋅E=7B szorzat 9-re végződik, így csak 49 lehet, tehát B=G=7, és a második részletszorzat százasába 4 százast viszünk át.
 

Ha a szorzat hátra levő 0-jegye N, akkor a tízes helyi értékű oszlopból áthozott 1 százas figyelembevételével J=10-1-G=2. Ezért az A⋅E=7 A szorzat az áthozott 4 százassal együtt 2-re, az áthozat nélkül pedig 8-ra végződik, csak 28 lehet, tehát A=4. Így a kert területe lehet 471⋅17=8007m2, ami megfelel a feltételeknek. Mivel L=0 esetén N=P=0, és ezt a lehetőséget vettük eddig tekintetbe, ezért már csak az L=1 esettel kell foglalkoznunk. Ekkor a szorzat 0-jegyeinek egyike M, másika P vagy N.
Az L=1, M=P=0 esetben ismét B=7, másrészt az 1 0 N 0 7 szorzat 10000 és 11000 közé esik, ezért 17-edrésze, ti. a szorzandó, 580 és 650 közé esik, nem lehet tehát a tízes jegye 7. Ebben az esetben nincs megoldás.
Az L=1, M=N=0 feltevés mellett a terület 10017 és 10097 közé eső, 17-tel osztható szám, az adott határokat is megengedve. Egyetlen ilyen szám: 10047=591⋅17, ez a szorzás is megadhatja a kert területét.
 

II. Legyen másodszor C=3, D=7 és E=9. Az ABC¯ szorzandó 7-szerese háromjegyű, 9-szerese négyjegyű. Ezért maga a szorzandó egyrészt kisebb 1000/7-nél, és így legfeljebb 142, másrészt nagyobb 1000/9-nél, tehát legalább 112. Ha pedig figyelembe vesszük, hogy a szorzandó egyes helyi értékű jegye 3, akkor értéke vagy 113, vagy 123, vagy 133.
Mármost 113⋅79=8927 nem tartalmaz 0 jegyet, ugyanígy a 10⋅79=790-nel nagyobb 123⋅79 szorzat sem, viszont újabb 790-et hozzáadva 10507 adódik, ebben az esetben a kert hosszúsága 133 méter.
Mindezek szerint mondhatjuk, hogy a kert méreteit a következő három lehetőség egyike adja:
hosszúságaMMszélességeMMterülete471m17m8007m2,591m17m10047m2,133m79m10507m2.

Szigorúan véve az ,,első részletszorzat'' szót, az első két lehetőséget eleve kizárhattuk volna, mert a szorzó első jegye 1-es, és ügyes számoló ilyenkor nem írja le a részletszorzatot. Ha viszont az utolsó számításrész, vagyis az összeadás szempontjából tekintjük a kérdést, akkor a ,,részletszorzat'' szó állhat az ,,összeadandó'' helyett is, hiszen az 1-szeres le nem írásának éppen az a lényege, hogy a szorzás kijelölésében leírt szorzandót tovább már részletszorzatnak tekintjük.
Más kérdés, hogy az első két megoldási lehetőség a szélességhez képest túl nagy hosszúságméretet ad, a harmadikban viszont az arányuk kisebb 2-nél, ez gyakrabban fordul elő. Ha a kert mérete 133⋅79 volt, ez az arány is segíthette Petit a napló megírásában.
 
 Soltész Péter (Budapest, I. István Gimn., II. o. t.)