Feladat: 858. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Ávéd Mária ,  Losonci Zoltán ,  Novák Anna 
Füzet: 1964/március, 121 - 122. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Súlyvonal, Súlypont, Négyzetek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1963/szeptember: 858. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Rajzoljuk meg a BF szakaszt. Az FBE háromszögben C felezi a BE oldalt, tehát FC a háromszög súlyvonala, továbbá D harmadolja ezt a súlyvonalat és közelebb van a BE oldalhoz, tehát D a háromszög súlypontja. Így a BD egyenesnek az FBE háromszögbe eső szakasza is súlyvonala ennek a háromszögnek, tehát az FE oldallal való metszéspontja felezi ezt az oldalt. Ezt kellett bizonyítanunk.
 Ávéd Mária (Hódmezővásárhely, Bethlen G. g. II. o. t.)

 
 
1. ábra
 

Megjegyzés. A bizonyításban semmiben sem használtuk fel az ABCD négyszög négyzet voltát, az A csúcs nem is szerepelt sem az alakzat megszerkesztésében, sem a bizonyításban. Ezért az állítás érvényes bármely BCD háromszögre is, természetesen BD átló helyett BD oldalt mondva.
 
 
2. ábra
 

 Novák Anna (Budapest, Ságvári E. gyak. lg. II. o. t.)
 
 
3. ábra
 

II. megoldás. Készítsünk az ABCD négyzetből kiindulva négyzethálózatot. Legyenek a rácsnak a CF szakaszhoz, annak A-t nem tartalmazó oldala felől csatlakozó négyzetei CEGD, DGJH és HJKF. A BD átló meghosszabbítása DGJH átlója (DG-vel 45∘-ot zár be), így átmegy a négyzet O középpontján. O a CEKF téglalapnak is középpontja, így rajta van az EF átlón és felezi azt. Ezt kellett bizonyítanunk.
 Losonci Zoltán (Szeged, Vedres I. ép. ip. t. I. o. t.)
 

Megjegyzés. Figyeljük meg, hogy O-n átmegy az AGKL négyzet GL átlója is. Ez a tény nem csak azon nem múlik, hogy négyzetből indultunk ki, de még a feladatban szereplő arányokon sem; igaz a következő állítás: Húzzunk egy ABCD paralelogramma BC oldalegyenesének egy E pontján át AB-vel, a CD egyenes egy F pontján át BC-vel párhuzamost; messe az előbbi AD-t G-ben, az utóbbi AB-t L-ben, ekkor a ED, EF és GL egyenesek egy ponton mennek át. Ennek bizonyítása azonban lényegesen nehezebb, mint a fenti speciális eseté.