Feladat: 856. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Arányi Péter ,  Bucsy Péter 
Füzet: 1964/február, 76 - 77. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Eltolás, Magasságvonal, Beírt kör, Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1963/szeptember: 856. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a keresett ABC háromszögben ismert a BAC=α szög, az A csúcsból húzott m magasságszakasz és a beírt kör ϱ sugara; jelöljük a kör középpontját O-val. m és ϱ megadják az O, ill. A pontnak a BC egyenestől való távolságát, ha tehát felvesszük a BC=e egyenest, akkor O az ezzel párhuzamos, tőle ϱ távolságban haladó e1 egyenesen van, A pedig a BC ugyanazon oldalán, tőle m távolságban húzott e2 párhuzamos egyenes valamely pontja (1. ábra). O és A egyikének helyzetét a megfelelő egyenesen meg is választhatjuk.

 
 
1. ábra
 

Másrészt α és ϱ ismeretében megszerkeszthetjük az O és A közti távolságot: egy α nagyságú, A' csúcsú szög mindkét szárával párhuzamost húzunk, tőlük ϱ távolságban, ezek O' metszéspontja az egyetlen olyan pont, amely körül a szög szárait érintő, ϱ sugarú k' kört lehet írni, tehát OA nagyságát megadja O'A' (2. ábra).
 
 
2. ábra
 
Most már az e1-en megválasztott O pont körül O'A' sugárral írt körívvel e2-ből kimetszhetjük A helyzetét. Másrészt megrajzolva a beírt kört, az ehhez A-ból húzott érintők kimetszik a B, C csúcsokat.
A kapott háromszög nyilvánvalóan megfelel a követelményeknek. A céljára 2 metszéspontot kapunk, ha O'A'>m-ϱ, de a belőlük adódó 2 háromszög egymás tükörképe az O-n átmenő, e-re merőleges tengelyre, tehát nem lényegesen különbözők. O'A'=m-ϱ esetén egy egyenlő szárú háromszöget kapunk, O'A'<m-ϱ esetén nincs megoldás. Másrészt nyilvánvaló, hogy csak akkor lehet szó megoldásról, ha m>2ϱ. (Ez abból is adódik, hogy nyilvánvalóan O'A'>ϱ.)
 
 Arányi Péter (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. I. o. t.)
 
 
3. ábra
 

II. megoldás. A 2. ábra segédszerkesztését folytatva megoldást kapunk abból, hogy az előírt m magasság miatt a BC egyenes érinti az A csúcs körül m sugárral írt k1 kört, másrészt k-t, is, tehát a BC egyenes a k és k1 körök közös külső érintője, a körzsugorítás módszerével megszerkeszthető (3. ábra). Két megoldást kapunk, ha k1 metszi k-t, egyet, ha érintkeznek (természetesen k belülről érinti k1 et), és végül nincs megoldás, ha k1 magába zárja k-t.
 
 Bucsy Péter (Budapest, Piarista g. II. o. t.)