Feladat: 855. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Andréka Hajnal ,  Badics G. ,  Balogh K. ,  Bárány Imre ,  Bencsik István ,  Bencsik L. ,  Berkes István ,  Bojár G. ,  Bóta Károly ,  Csík L. ,  Deák J. ,  Faragó T. ,  Fencsik Gábor ,  Gábor Ágota ,  Gaizler Judit ,  Gáspár A. ,  Gömböcz L. ,  Hedry B. ,  Héjj G. ,  Herényi István ,  Horváth B. ,  Karsai István ,  Karsai Kornélia ,  Kiss A. ,  Kövesdi Gy. ,  Laczkovich M. ,  Loparits Éva ,  Major P. ,  Malina János ,  Márkus András ,  Nagy Júlia ,  Nezvál E. ,  Novák K. ,  Pásztor György ,  Repkényi E. ,  Rusznyák K. ,  Soha Erzsébet ,  Soltész P. ,  Sólyom Irén ,  Szabó Zoltán ,  Szalay Júlia ,  Szeidl László ,  Szőke P. ,  Tényi G. ,  Valkó P. 
Füzet: 1964/március, 119 - 121. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kombinatorikai leszámolási problémák, Lefedések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1963/szeptember: 855. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Nevezzük a dominók tengelyének a hosszabb középvonalukat. Tekintsük először a tábla négy sarok mezejét lefedő négy dominókövet. Lehet, hogy mind a négy dominó tengelye azonos irányú, ekkor egy 90-os elforgatással ‐ ha szükséges ‐ elérhetjük, hogy vízszintes legyen. Lehet, hogy három kőnek a tengelye párhuzamos ‐ feltehetjük, hogy vízszintes ‐, a negyediké rájuk merőleges; a középvonalakra való tükrözésekkel ‐ ha kell ‐ elérhető, hogy a jobb felső sarokmezőt fedje függőleges tengelyű dominó. Végül lehet, hogy mindkét iránnyal két dominó tengelye párhuzamos; az utóbbi esetben a párhuzamos tengelyű dominók vagy oldal mentén szomszédosak, vagy egy átló végein álló sarokmezők lefedésében vesznek részt; ekkor is feltehető, hogy a bal felső sarokmezőt vízszintes dominó fedi (1. ábra A, B, C, D rakásmódja).

 
 
1. ábra
 

A D rakásmód mellett a további mezők csak úgy fedhetők le, hogy a három oldalról körülfogott szélső mezőket és a szomszédos középső mezőt fedje egy-egy dominó (szaggatott vonalak). A B és C rakásmódot folytatva csupán két dominókő elhelyezése egyértelmű, a hátra levő 2×2 mező kétféleképpen fedhető le, vízszintes, vagy függőleges tengelyű kövekkel. Az A rakásmód mellett a még fedetlen részben fedheti mind a két felső sarokmezőt vízszintes dominó, vagy az egyiket ‐ pl. a bal oldalit ‐ vízszintes, a másikat függőleges, vagy mind a kettőt függőleges dominó (2. ábra, E, F, G).
 
 
2. ábra
 

Az első kettő egyértelműen befejeződik, a harmadik ismét két lehetőséget ad. Bennük a lefedetlen 4 mező kétféle lefedése egymásba 90-os forgatással átvihető, de ez a forgatás a tábla szélén álló mezők lefedési ábráját nem önmagába viszi át, tehát a két lefedés nem azonos.
Ezek szerint a lefedés 9-féleképpen lehetséges, nyilvánvaló jelöléssel a következő módokon: AE, AF, AGv, AGf, Bv, Bf, Cv, Cf, D.
 
II. megoldás. A táblát mezőkre osztó 3-3 egyenesszakasz közül minden lefedésben legalább 2 a maga teljes hosszában dominókövek határvonala lesz, más szóval nem metsz át dominót. Ha ugyanis egy vonalra egy őt metsző dominót helyezünk, akkor a táblának a vonal két oldalán levő rész téglalapjaiban páratlan számú fedetlen mező marad, mert a mezők száma eredetileg minden rész-téglalapon páros. Ezért a teljes lefedésig a kérdéses vonalra még egy azt metsző dominót kell helyeznünk, és ha kerül rá egy harmadik metsző dominó, akkor ugyanilyen meggondolással adódik, hogy egy negyediknek is át kell metszenie a vonalat. Eszerint minden átmetszett vonalat páros számú kő metsz, a felhasználandó 8 kő legfeljebb 4 vonal átmetszéséhez elég, így legalább 2 vonal átmetszetlen marad.
Másrészt az átmetszett vonalak száma legalább 2, mert egy vonalat legfeljebb 4 kővel metszhetünk.
 
 
3. ábra
 

Ha van 3 párhuzamos ‐ mondjuk vízszintes ‐ át nem metszett vonal, ez 4 sorra bontja a táblát, és ezek mindegyike csak 2-2 szomszédos dominóval fedhető le (3. a ábra). Ha a vízszintes vonalak közül csak kettőt nem metszenek át dominók, akkor ezek a vonalak vagy két szomszédos sort, vagy a két szélső sort elválasztják a tábla többi részétől és ezek a sorok ismét csak 2-2 vízszintes dominóval fedhetők le (3. b, c ábra); ezért a függőleges vonalak közül csak a középső lehet olyan, amelyiket nem metsz át dominó. Ha valóban olyan, akkor, mivel a még lefedetlen téglalapban futó vízszintes vonalat átmetszi dominó, a téglalap egyik ‐ pl. jobb ‐ felét 2 függőleges dominó fedi (4. d ábra), a másikat vagy 2 vízszintes vagy 2 függőleges dominó. Ha a középső függőleges vonalat átmetszi dominó, ez már egyértelműen meghatározza a téglalap lefedését (4. e ábra).
 
 
4. ábra
 

Ha végül csak egy vízszintes és egy függőleges vonalat nem metsz át dominó, ez nem lehet mind a kettő szomszédos a tábla egy-egy oldalával, mert ekkor egy sarokmezőt elválasztanának a tábla többi részétől, s így azt nem fedhetné le dominó. Ha pl. a felső vízszintes és a középső függőleges vonalat nem metszi át dominó (5. f ábra), akkor a középső vízszintes vonalat kell metszenie dominónak, mondjuk a tábla jobb felében, és ez a jobb oldal lefedését már meghatározza, az alsó vízszintes vonalat ekkor már csak a bal oldalon metszheti át dominó, ez pedig meghatározza a bal oldal lefedését.
 
 
5. ábra
 

Ha végül a két középső vonalat nem metszi dominó (5. g ábra), akkor a többi vonalakat csak úgy metszhetjük mind át, hogy a szomszédos négyzeteket felváltva vízszintes és függőleges dominókkal fedjük.
Így (az első megoldáséhoz hasonló jelöléssel élve), a következő 9 lefedéshez jutottunk: a, bdv, bdf, be, cdv, cdf, ce, f, g. (Ezek sorra az első megoldásban nyert AE, Bv, Cv, Cf, AF, AGf, AGv, Bf, és D lefedéssel egyeznek meg, részben más helyzetben.)
 
 Bárány Imre (Budapest, Corvin Mátyás Gimn., II. o. t.)