|
Feladat: |
855. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: könnyű |
Megoldó(k): |
Andréka Hajnal , Badics G. , Balogh K. , Bárány Imre , Bencsik István , Bencsik L. , Berkes István , Bojár G. , Bóta Károly , Csík L. , Deák J. , Faragó T. , Fencsik Gábor , Gábor Ágota , Gaizler Judit , Gáspár A. , Gömböcz L. , Hedry B. , Héjj G. , Herényi István , Horváth B. , Karsai István , Karsai Kornélia , Kiss A. , Kövesdi Gy. , Laczkovich M. , Loparits Éva , Major P. , Malina János , Márkus András , Nagy Júlia , Nezvál E. , Novák K. , Pásztor György , Repkényi E. , Rusznyák K. , Soha Erzsébet , Soltész P. , Sólyom Irén , Szabó Zoltán , Szalay Júlia , Szeidl László , Szőke P. , Tényi G. , Valkó P. |
Füzet: |
1964/március,
119 - 121. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Kombinatorikai leszámolási problémák, Lefedések, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1963/szeptember: 855. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Nevezzük a dominók tengelyének a hosszabb középvonalukat. Tekintsük először a tábla négy sarok mezejét lefedő négy dominókövet. Lehet, hogy mind a négy dominó tengelye azonos irányú, ekkor egy -os elforgatással ‐ ha szükséges ‐ elérhetjük, hogy vízszintes legyen. Lehet, hogy három kőnek a tengelye párhuzamos ‐ feltehetjük, hogy vízszintes ‐, a negyediké rájuk merőleges; a középvonalakra való tükrözésekkel ‐ ha kell ‐ elérhető, hogy a jobb felső sarokmezőt fedje függőleges tengelyű dominó. Végül lehet, hogy mindkét iránnyal két dominó tengelye párhuzamos; az utóbbi esetben a párhuzamos tengelyű dominók vagy oldal mentén szomszédosak, vagy egy átló végein álló sarokmezők lefedésében vesznek részt; ekkor is feltehető, hogy a bal felső sarokmezőt vízszintes dominó fedi (1. ábra , , , rakásmódja).
A rakásmód mellett a további mezők csak úgy fedhetők le, hogy a három oldalról körülfogott szélső mezőket és a szomszédos középső mezőt fedje egy-egy dominó (szaggatott vonalak). A és rakásmódot folytatva csupán két dominókő elhelyezése egyértelmű, a hátra levő mező kétféleképpen fedhető le, vízszintes, vagy függőleges tengelyű kövekkel. Az rakásmód mellett a még fedetlen részben fedheti mind a két felső sarokmezőt vízszintes dominó, vagy az egyiket ‐ pl. a bal oldalit ‐ vízszintes, a másikat függőleges, vagy mind a kettőt függőleges dominó (2. ábra, , , ).
Az első kettő egyértelműen befejeződik, a harmadik ismét két lehetőséget ad. Bennük a lefedetlen mező kétféle lefedése egymásba -os forgatással átvihető, de ez a forgatás a tábla szélén álló mezők lefedési ábráját nem önmagába viszi át, tehát a két lefedés nem azonos. Ezek szerint a lefedés -féleképpen lehetséges, nyilvánvaló jelöléssel a következő módokon: , , , , , , , , .
II. megoldás. A táblát mezőkre osztó 3-3 egyenesszakasz közül minden lefedésben legalább a maga teljes hosszában dominókövek határvonala lesz, más szóval nem metsz át dominót. Ha ugyanis egy vonalra egy őt metsző dominót helyezünk, akkor a táblának a vonal két oldalán levő rész téglalapjaiban páratlan számú fedetlen mező marad, mert a mezők száma eredetileg minden rész-téglalapon páros. Ezért a teljes lefedésig a kérdéses vonalra még egy azt metsző dominót kell helyeznünk, és ha kerül rá egy harmadik metsző dominó, akkor ugyanilyen meggondolással adódik, hogy egy negyediknek is át kell metszenie a vonalat. Eszerint minden átmetszett vonalat páros számú kő metsz, a felhasználandó kő legfeljebb vonal átmetszéséhez elég, így legalább vonal átmetszetlen marad. Másrészt az átmetszett vonalak száma legalább , mert egy vonalat legfeljebb kővel metszhetünk.
Ha van párhuzamos ‐ mondjuk vízszintes ‐ át nem metszett vonal, ez sorra bontja a táblát, és ezek mindegyike csak 2-2 szomszédos dominóval fedhető le (3. a ábra). Ha a vízszintes vonalak közül csak kettőt nem metszenek át dominók, akkor ezek a vonalak vagy két szomszédos sort, vagy a két szélső sort elválasztják a tábla többi részétől és ezek a sorok ismét csak 2-2 vízszintes dominóval fedhetők le (3. b, c ábra); ezért a függőleges vonalak közül csak a középső lehet olyan, amelyiket nem metsz át dominó. Ha valóban olyan, akkor, mivel a még lefedetlen téglalapban futó vízszintes vonalat átmetszi dominó, a téglalap egyik ‐ pl. jobb ‐ felét függőleges dominó fedi (4. d ábra), a másikat vagy vízszintes vagy függőleges dominó. Ha a középső függőleges vonalat átmetszi dominó, ez már egyértelműen meghatározza a téglalap lefedését (4. e ábra).
Ha végül csak egy vízszintes és egy függőleges vonalat nem metsz át dominó, ez nem lehet mind a kettő szomszédos a tábla egy-egy oldalával, mert ekkor egy sarokmezőt elválasztanának a tábla többi részétől, s így azt nem fedhetné le dominó. Ha pl. a felső vízszintes és a középső függőleges vonalat nem metszi át dominó (5. f ábra), akkor a középső vízszintes vonalat kell metszenie dominónak, mondjuk a tábla jobb felében, és ez a jobb oldal lefedését már meghatározza, az alsó vízszintes vonalat ekkor már csak a bal oldalon metszheti át dominó, ez pedig meghatározza a bal oldal lefedését.
Ha végül a két középső vonalat nem metszi dominó (5. g ábra), akkor a többi vonalakat csak úgy metszhetjük mind át, hogy a szomszédos négyzeteket felváltva vízszintes és függőleges dominókkal fedjük. Így (az első megoldáséhoz hasonló jelöléssel élve), a következő lefedéshez jutottunk: , , , , , , , , . (Ezek sorra az első megoldásban nyert , , , , , , , , és lefedéssel egyeznek meg, részben más helyzetben.)
Bárány Imre (Budapest, Corvin Mátyás Gimn., II. o. t.)
|
|