Kezdőlap


Feladat:	852. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Galambos Mária , Szalay Mariann
Füzet:	1964/március, 117 - 118. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú diofantikus egyenletek, Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/szeptember: 852. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a keresett szám $A$ , számjegyeinek összege $S$ , akkor $A = 12 S$ . Ezért $A$ osztható $3$ -mal, de tudjuk, hogy ekkor $S$ is osztható $3$ -mal, így $A$ osztható $9$ -cel is. Ebből viszont következik, hogy $S$ is osztható $9$ -cel. Másrészt háromjegyű szám számjegyeinek összege legfeljebb $9 + 9 + 9 = 27$ . Ámde $A$ páros, utolsó jegye nem $9$ -es, tehát $S < 27$ . Így $S$ gyanánt csak $9$ és $18$ jön szóba, ebből pedig $A$ nem lehet más, mint $12 \cdot 9 = 108$ , vagy $12 \cdot 18 = 216$ . Mindkét kapott számban $S = 9$ , ezért csak $A = 108$ felel meg, ez a keresett szám.

Szalay Mariann (Kunszentmárton, Mátyás kir. u. ált. isk. 8. o. t.)

II. megoldás. A keresett szám számjegyeit sorra

x

-szel,

y

-nal,

z

-vel jelölve a feladat szerint

\begin{matrix} 100 x + 10 y + z = 12 (x + y + z), vagyis \\ 88 x - 11 z = 11 (8 x - z) = 2 y . \end{matrix}

A bal oldal osztható

11

-gyel, ezért

2 y

is és

y

is, mert

2

nem osztható

11

-gyel. Mivel

0 < y \leq 9

, ez csak

y = 0

mellett áll fenn.
Ekkor

8 x - z = 0

, így

z = 8 x

, vagyis

z

egy

8

-cal osztható számjegy. Ilyen egyedül a

z = 8

, ezért

x = 1

, és a keresett szám

108

. Ez valóban megfelel, mert

108 = 12 \cdot 9 = 12 (1 + 0 + 8)

Galambos Mária (Zirc, Reguly A. g. II. o. t.)