Kezdőlap


Feladat:	851. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Horváth Géza
Füzet:	1964/február, 75 - 76. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Százalékszámítás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/szeptember: 851. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen egy bizonyos árumennyiség beszerzési ára $B$ , eladási ára a haszon és a költségek hozzáadásával $E$ , vagyis nyilván $E > B$ . Így az alulról számított $a$ és a felülről számított $f$ haszonkulcs:

\begin{matrix} a = 100 \frac{E - B}{B} = 100 (\frac{E}{B} - 1) %, & (1) \\ f = 100 \frac{E - B}{E} = 100 (1 - \frac{B}{E}) % . & (2) \end{matrix}

1) Ha mármost adott az

a

haszonkulcs, akkor átrendezéssel az

E / B

arány, majd a reciproka

\begin{matrix} \frac{E}{B} = \frac{a}{100} + 1 = \frac{a + 100}{100}, \frac{B}{E} = \frac{100}{a + 100}, \end{matrix}

tehát a felülről számított haszonkulcs

\begin{matrix} f = 100 (1 - \frac{100}{a + 100}) = \frac{100 a}{a + 100} %, \end{matrix}

(3)

és ez valóban független

B

-től is,

E

-től is, csak

a

-tól függ.
Megfordítva: a

B / E

arányt (2)-ből kifejezve, majd (1)-be helyettesítve

\begin{matrix} \frac{B}{E} = 1 - \frac{f}{100} = \frac{100 - f}{100}, a = 100 (\frac{100}{100 - f} - 1) = \frac{100 f}{100 - f} . \end{matrix}

100 - f

nevező nyilván 0-tól különböző, hiszen

f = 100 %

azt jelentené, hogy az eladási ár minden fillérje haszon, vagyis

B = 0

, ekkor nem volna értelme

a

számításának.

2) Megjegyezzük, hogy mindig

a > f

, mert az

E - B

haszon a kisebb

B

-hez viszonyítva nagyobb százalékot tesz ki, mintha a nagyobb

E

-hez hasonlítjuk. Így a vizsgálandó

a - f

különbség pozitív.
(3)-ból a törtet eltávolítva azt látjuk, hogy a csak

a

-t és a csak

f

-et tartalmazó tag együtthatója a két oldalon ugyanaz, ezért az

a - f

különbség kifejezhető a szorzattal:

\begin{matrix} a f + 100 f = 100 a, a f = 100 (a - f), a - f = \frac{a f}{100}, \end{matrix}

és éppen ezt kellett bizonyítanunk.

Horváth Géza (Esztergom, I. István g. II. o. t.)