Feladat: 850. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bárány I. ,  Csirik J. ,  Domokos Zsuzsanna ,  Folly Gábor ,  Földes Antónia ,  Hirka A. ,  Kiss Árpád ,  Kiss Katalin ,  Körner János ,  Lehel Csaba ,  Lovász László ,  Malatinszky Géza ,  Mátrai Miklós ,  Nagy Klára ,  Pelikán József ,  Siket Aranka ,  Sófalvi M. ,  Szentai Judit ,  Szilágyi Tivadar ,  Tamás G. ,  Török László 
Füzet: 1964/április, 160 - 163. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Fizikai jellegű feladatok, Súlypont, Síkidomok súlypontja, Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1963/május: 850. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. SD és SB közül elég egyiküket megszerkeszteni, mert összekötő egyenesük párhuzamos a BD átlóval, tehát pl. SD ismeretében csúsztatással megrajzolható. Ha ugyanis az AC átló felezőpontja E, akkor SB harmadolja az ED súlyvonalat, SD pedig EB-t, ezért ESDSB és EBD az E középpontra nézve hasonló helyzetű háromszögek, és bennük SDSB és BD megfelelő oldalak. Ugyanígy SASC∥CA, elég lesz pl. SA-t megszerkesztenünk.

 
 
1. ábra
 

SD és SA megszerkesztéséhez elég előállítanunk az ABC, ill. BCD háromszög két‐két súlyvonalát. E háromszögek BC oldala közös, ennek B0 felezőpontját ismerve meghúzhatjuk az AB0, ill. DB0 súlyvonalat, másrészt a háromszögek B0-on átmenő valamelyik középvonalával megkaphatjuk egy‐egy további oldalfelező pontjukat, abból pedig egy‐egy további súlyvonalukat. Az 1. ábrán az AB oldal A0 és a CD oldal C0 felezőpontját használtuk fel a CA0, ill. BC0 súlyvonal megrajzolásához.
B0 megszerkesztéséhez elég ismernünk egy pl. a B-n átmenő tetszés szerinti (de BC-től különböző) t egyenesnek két, egymás után csatlakozó, egyenlő szakaszát, ha az első szakasz kezdőpontja B. Ha ugyanis a két szakasz BG1=G1G2, akkor a G1-en átmenő CG2-vel párhuzamos egyenes BC-ből kimetszi B0-t. t gyanánt a már meglevő BA egyenest használva egy egyenest megtakaríthatunk, feltéve, hogy az ABCD négyszög oldalszakaszai meg vannak rajzolva.
Ezek szerint a BA oldal felénél nem nagyobb BG1 szakasznak BA-ra való kétszeri felmérése után a következő 9 egyenes meghúzásával kapjuk S-et (a zárójelben beiktatott egyeneseket a vonalzó csúsztatása céljára beállítjuk, de nem rajzoljuk meg):
(G2C),G1B0;(CA),B0A0;(BD),B0C0;B0A,A0C;B0D,C0B;(CA),SASC;(BD),SDSB.


 
 
2. ábra
 

II. A KLMN négyszög paralelogramma (2. ábra), mert A2BB1 és ABC a B középpontra vonatkozóan hasonló helyzetű háromszögek, ezért A2B1∥AC, hasonlóan D1C2∥AC, így A2B1∥D1C2, más jelöléssel NK∥ML, továbbá ugyanígy KL∥MN∥BD. Az eljárás S gyanánt a paralelogramma középpontját jelöli meg, ezért helyességének bizonyítására elég megmutatnunk, hogy az I. rész SASC és SBSD egyenesei átmennek a paralelogramma középpontján.
 
Az előzőkhöz hasonlóan B1C2∥BD∥KL, továbbá a B1C2 egyenes a C csúcson átmenő és a BD átlót metsző egyeneseknek az átló és a csúcs közé eső szakaszát szerkesztésénél fogva harmadolja, így átmegy a BCD háromszög SA súlypontján. Másrészt SA felezi a B1C2 szakaszt, mert a CSA súlyvonal, ami felezi a BD alapot, felezi a BD-vel párhuzamos egyeneseknek a BCD szög szárai közé eső szakaszát is. Így SA rajta van a KLMN paralelogramma KN-nel párhuzamos középvonalán. Másrészt láttuk, hogy SASC párhuzamos AC-vel, és így KN-nel is, tehát azonos a paralelogramma KN-nel párhuzamos középvonalával. Így átmegy a paralelogramma középpontján. Hasonlóan SBSD azonos a KL-lel párhuzamos középvonallal, tehát szintén átmegy a paralelogramma középpontján, és ezt akartuk bizonyítani.
Ennek alapján S megszerkesztése a fentebbi szerkesztéshez hasonlóan az alábbi 10 egyenes meghúzásával (ill. a zárójelbe tett egyenesek előzetes beállításával) történhet, ahol G1, G2, G3 a BA oldal olyan három pontja, melyekre BG1=G1G2=G2G3.
(G3C),G1B1,G2B2;(CA),KB1N,B2A1;(BD),B1C2,KB2L,NA1M;(CA),LC2M;KM;LN.

 Malatinszky Géza (Makó, József A. g. III. o. t.)
 

Megjegyzések. 1. Ha a négyszögnek csak a csúcsai vannak kijelölve, akkor az oldalak közül elég hármat megrajzolni. A fenti szerkesztésekben a DA oldalnak sem a felezőpontját, sem a harmadoló pontjait nem használtuk fel.
2. Belátható, hogy az állítás és a szerkesztések konkáv négyszögre is érvényesek (3. ábra).
 
 
3. ábra