|
Feladat: |
850. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bárány I. , Csirik J. , Domokos Zsuzsanna , Folly Gábor , Földes Antónia , Hirka A. , Kiss Árpád , Kiss Katalin , Körner János , Lehel Csaba , Lovász László , Malatinszky Géza , Mátrai Miklós , Nagy Klára , Pelikán József , Siket Aranka , Sófalvi M. , Szentai Judit , Szilágyi Tivadar , Tamás G. , Török László |
Füzet: |
1964/április,
160 - 163. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek hasonlósága, Fizikai jellegű feladatok, Súlypont, Síkidomok súlypontja, Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1963/május: 850. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. és közül elég egyiküket megszerkeszteni, mert összekötő egyenesük párhuzamos a átlóval, tehát pl. ismeretében csúsztatással megrajzolható. Ha ugyanis az átló felezőpontja , akkor harmadolja az súlyvonalat, pedig -t, ezért és az középpontra nézve hasonló helyzetű háromszögek, és bennük és megfelelő oldalak. Ugyanígy , elég lesz pl. -t megszerkesztenünk.
1. ábra és megszerkesztéséhez elég előállítanunk az , ill. háromszög két‐két súlyvonalát. E háromszögek oldala közös, ennek felezőpontját ismerve meghúzhatjuk az , ill. súlyvonalat, másrészt a háromszögek -on átmenő valamelyik középvonalával megkaphatjuk egy‐egy további oldalfelező pontjukat, abból pedig egy‐egy további súlyvonalukat. Az 1. ábrán az oldal és a oldal felezőpontját használtuk fel a , ill. súlyvonal megrajzolásához. megszerkesztéséhez elég ismernünk egy pl. a -n átmenő tetszés szerinti (de -től különböző) egyenesnek két, egymás után csatlakozó, egyenlő szakaszát, ha az első szakasz kezdőpontja . Ha ugyanis a két szakasz , akkor a -en átmenő -vel párhuzamos egyenes -ből kimetszi -t. gyanánt a már meglevő egyenest használva egy egyenest megtakaríthatunk, feltéve, hogy az négyszög oldalszakaszai meg vannak rajzolva. Ezek szerint a oldal felénél nem nagyobb szakasznak -ra való kétszeri felmérése után a következő 9 egyenes meghúzásával kapjuk -et (a zárójelben beiktatott egyeneseket a vonalzó csúsztatása céljára beállítjuk, de nem rajzoljuk meg):
2. ábra II. A négyszög paralelogramma (2. ábra), mert és a középpontra vonatkozóan hasonló helyzetű háromszögek, ezért , hasonlóan , így , más jelöléssel , továbbá ugyanígy . Az eljárás gyanánt a paralelogramma középpontját jelöli meg, ezért helyességének bizonyítására elég megmutatnunk, hogy az I. rész és egyenesei átmennek a paralelogramma középpontján.
Az előzőkhöz hasonlóan , továbbá a egyenes a csúcson átmenő és a átlót metsző egyeneseknek az átló és a csúcs közé eső szakaszát szerkesztésénél fogva harmadolja, így átmegy a háromszög súlypontján. Másrészt felezi a szakaszt, mert a súlyvonal, ami felezi a alapot, felezi a -vel párhuzamos egyeneseknek a szög szárai közé eső szakaszát is. Így rajta van a paralelogramma -nel párhuzamos középvonalán. Másrészt láttuk, hogy párhuzamos -vel, és így -nel is, tehát azonos a paralelogramma -nel párhuzamos középvonalával. Így átmegy a paralelogramma középpontján. Hasonlóan azonos a -lel párhuzamos középvonallal, tehát szintén átmegy a paralelogramma középpontján, és ezt akartuk bizonyítani. Ennek alapján megszerkesztése a fentebbi szerkesztéshez hasonlóan az alábbi 10 egyenes meghúzásával (ill. a zárójelbe tett egyenesek előzetes beállításával) történhet, ahol , , a oldal olyan három pontja, melyekre .
Malatinszky Géza (Makó, József A. g. III. o. t.)
Megjegyzések. 1. Ha a négyszögnek csak a csúcsai vannak kijelölve, akkor az oldalak közül elég hármat megrajzolni. A fenti szerkesztésekben a oldalnak sem a felezőpontját, sem a harmadoló pontjait nem használtuk fel. 2. Belátható, hogy az állítás és a szerkesztések konkáv négyszögre is érvényesek (3. ábra).
3. ábra
|
|