|
Feladat: |
849. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bárány I. , Domokos Zsuzsanna , Fejes Tóth G. , Ferenczi György , Fodor Magdolna , Höss Rozália , Kiss A. , Körner János , Lehel Csaba , Lovász László , Marton Gábor , Mátrai Miklós , Nagy Júlia , Nagy Klára , Pelikán József , Siket Aranka , Soltész P. , Sólyom Irén , Szabó Zoltán , Szeidl László , Székely Gábor , Szemkeő Judit , Szentai Judit , Tényi G. |
Füzet: |
1964/március,
116 - 117. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek hasonlósága, Háromszög nevezetes körei, Súlypont, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Parabola, mint mértani hely, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1963/május: 849. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen a keresett háromszög, és az adott hosszúságú oldalak. a súlypont és az adott szög. A és oldal felezőpontját -gyel és -gyel jelölve a szakasznak -ből vett látószöge . -ból -sel párhuzamost húzva messe ez a egyenest -ben. Ekkor , másrészt az háromszög középvonala, mert átmegy felezőpontján és párhuzamos -vel. Így és a fölötti szögű látószög köríven van.
1. ábra Ezek alapján a háromszög így szerkeszthető: Megszerkesztjük egy adott hosszúságú szakasz felezőpontját, valamint -nek -re vett tükörképét. A egyenes egyik partján az szakasz fölé nyílású látószög-körívet szerkesztünk. körül sugarú kört írunk. Ekkor és közös pontja az csúcs. Az háromszög megfelel a feltételeknek, mert , előírt hosszúságúak, felezőpontját -gyel jelölve a háromszög középvonala, tehát , egyszersmind az háromszög -ből kiinduló súlyvonala. Másrészt az -ból kiinduló súlyvonal. Így , és az előírt szög. A megoldások száma vagy , vagy , vagy , az és közös pontjainak száma szerint. Ha , akkor , és kisebb félkörnél, így legfeljebb megoldás van.
Marton Gábor (Budapest, Bláthy O. erősáramú ip. techn. I. o. t.)
2. ábra Megjegyzés. A keresett háromszöghöz hasonló szerkeszthető a következő meggondolás alapján. Az -ből -vel és -vel párhuzamosan húzott egyenesek messék -t -ben és -ben. Ezek az szakasz harmadoló pontjai, másrészt és a és oldal harmadával egyenlő, így az pont -től és -től mért távolságainak aránya: ismert. Ha tehát egy tetszés szerinti szakaszt egyenlő részre osztunk és egyrészt látószögű körívet rajzolunk fölé, másrészt a középső harmadához megrajzoljuk a aránynak megfelelő Apollóniosz-kört, a kettő metszéspontjai felelnek meg súlypont gyanánt, amiből a keresett háromszöghöz hasonló, majd ennek oldalaira rámérve a , , távolságot, a keresett háromszög már megszerkeszthető.
|
|