Kezdőlap


Feladat:	849. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bárány I. , Domokos Zsuzsanna , Fejes Tóth G. , Ferenczi György , Fodor Magdolna , Höss Rozália , Kiss A. , Körner János , Lehel Csaba , Lovász László , Marton Gábor , Mátrai Miklós , Nagy Júlia , Nagy Klára , Pelikán József , Siket Aranka , Soltész P. , Sólyom Irén , Szabó Zoltán , Szeidl László , Székely Gábor , Szemkeő Judit , Szentai Judit , Tényi G.
Füzet:	1964/március, 116 - 117. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Háromszög nevezetes körei, Súlypont, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Parabola, mint mértani hely, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/május: 849. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $A B C$ a keresett háromszög, $B C = a$ és $C A = b$ az adott hosszúságú oldalak. $S$ a súlypont és $A S B ∢ = δ$ az adott szög.
A $B C$ és $A C$ oldal felezőpontját $A_{1}$ -gyel és $B_{1}$ -gyel jelölve a $B A_{1}$ szakasznak $S$ -ből vett látószöge $180^{\circ} - δ$ . $A$ -ból $B S$ -sel párhuzamost húzva messe ez a $B C$ egyenest $C'$ -ben. Ekkor $C' A A_{1} ∢ = 180^{\circ} - δ$ , másrészt $B B_{1}$ az $A C C'$ háromszög középvonala, mert átmegy $A C$ felezőpontján és párhuzamos $A C'$ -vel. Így $C' B = B C$ és $A$ a $C' A_{1}$ fölötti $180^{\circ} - δ$ szögű látószög köríven van.

1. ábra

Ezek alapján a háromszög így szerkeszthető: Megszerkesztjük egy adott

a

hosszúságú

B C

szakasz

A_{1}

felezőpontját, valamint

C

-nek

B

-re vett

C'

tükörképét. A

B C

egyenes egyik partján az

A_{1} C'

szakasz fölé

180^{\circ} - δ

nyílású

i

látószög-körívet szerkesztünk.

C

körül

b

sugarú

k

kört írunk. Ekkor

i

és

k

közös pontja az

A

csúcs.
Az

A B C

háromszög megfelel a feltételeknek, mert

B C = a

A C = b

előírt hosszúságúak,

A C

felezőpontját

B_{1}

-gyel jelölve

B B_{1}

C C' A

háromszög középvonala, tehát

B B_{1} ∥ C' A

, egyszersmind az

A B C

háromszög

B

-ből kiinduló súlyvonala. Másrészt

A A_{1}

A

-ból kiinduló súlyvonal. Így

A_{1} S B ∢ = A_{1} A C' ∢ = 180^{\circ} - δ

, és

A S B ∢ = δ

az előírt szög.
A megoldások száma vagy

2

, vagy

1

, vagy

0

, az

i

és

k

közös pontjainak száma szerint. Ha

δ < 90^{\circ}

, akkor

180^{\circ} - δ > 90^{\circ}

, és

i

kisebb félkörnél, így legfeljebb

1

megoldás van.

Marton Gábor (Budapest, Bláthy O. erősáramú ip. techn. I. o. t.)

2. ábra

Megjegyzés. A keresett háromszöghöz hasonló szerkeszthető a következő meggondolás alapján. Az

S

-ből

B C

-vel és

A C

-vel párhuzamosan húzott egyenesek messék

A B

-t

D

-ben és

E

-ben. Ezek az

A B

szakasz harmadoló pontjai, másrészt

D S

és

E S

B C

és

A C

oldal harmadával egyenlő, így az

S

pont

D

-től és

E

-től mért távolságainak aránya:

B C / A C

ismert. Ha tehát egy tetszés szerinti szakaszt

3

egyenlő részre osztunk és egyrészt

δ

látószögű körívet rajzolunk fölé, másrészt a középső harmadához megrajzoljuk a

B C / A C

aránynak megfelelő Apollóniosz-kört, a kettő metszéspontjai felelnek meg súlypont gyanánt, amiből a keresett háromszöghöz hasonló, majd ennek oldalaira rámérve a

B C

A C

, távolságot, a keresett háromszög már megszerkeszthető.