A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Legyen az , , csúcsból húzott magasság talppontja rendre , , , a magasságpont , az , , szakasz felezőpontja rendre , , , végül az , szár felezőpontja , ill. . Be fogjuk látni, hogy ezek a sorrendben egy szabályos nyolcszög egymás utáni csúcsai. A nyolcszög szimmetrikus a háromszög tengelyére, más szóval a átlóra, ezért szabályos voltának bizonyításához elég megmutatni, hogy egyrészt , , és oldalai egyenlők, másrészt a , , és csúcsnál levő szögei, -osak.
A háromszög szöge és az derékszögű háromszögből , ezért . és derékszögű háromszögek, ezért és a közös átfogó fölötti Thalész-kör pontjai. E kör középpontja , tehát ; az egyenlő szárú háromszögből egyrészt , , és így , másrészt . A egyenlő szárú háromszögből egyrészt , és így , másrészt , ezért . az háromszög középvonala, így párhuzamos -mel, ezért , és így az háromszögből , ez a háromszög tehát egyenlő szárú, . ugyancsak középvonala az háromszögnek, párhuzamos -mel. Ezért egyrészt és így , másrészt paralelogramma, . A kitűzött egyenlőségek fennállását beláttuk, a bizonyítást befejeztük.
Huhn Ágnes (Szeged, Tömörkény I. lg. I. o. t.) II. megoldás. Bebizonyítjuk, hogy és egybevágó négyzetek, körülírt körük közös, és a kör középpontja körüli -os forgatással egymásba átvihetők. Ebből már következik, hogy körbeírt nyolcszög, és minden oldalához -os középponti szög tartozik, tehát a nyolcszög szabályos. Az és derékszögű háromszögek egybevágók, mert oldalaik páronként merőlegesek, és így szögeik egyenlők, továbbá és befogóik egyenlők, mert derékszögű, egyenlő szárú háromszög. A két háromszög körüli -os forgatással egymásba megy át, eközben és , az átfogók felezőpontjai, egymásba mennek át, tehát , és . Eszerint egyenlő szárú derékszögű háromszög, és a szimmetria miatt négyzet. Oldalának hossza , mert a szakasz fölötti Thalész-körön van. Az négyszög egymás utáni oldalai középvonalak az , , , ill. háromszögben, ezért rendre egyenlők az , , , szakasz felével, azaz egymással is, mert a fenti egybevágóság miatt . Másrészt rendre párhuzamosak a felsorolt szakaszokkal, tehát egymás utáni páronként merőlegesek egymásra, mert . Így valóban négyzet. Az négyzet köré írt kör átmegy -en és -n, mert -ből a átmérő, -ból az átmérő derékszögben látszik. hossza a két négyzet egybevágósága miatt egyenlő a kör átmérőjével, így körünknek is átmérője, mert egy körben csak átellenes pontok vannak egymástól átmérőnyi távolságban. Így körünk a négyzetnek is körülírt köre. Végül a átló párhuzamos az oldallal, tehát a két négyzet egymáshoz képest valóban -kal van elfordulva.
Török László (Pannonhalma, Benedek-rendi g. II. o. t.) |