Kezdőlap


Feladat:	845. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bálint L. , Bárány I. , Bóta Károly , Császár Z. , Csirik J. , Domokos Zsuzsanna , Ferenczi György , Fiala J. , Folly Gábor , Földes Antónia , Gálfi István , Hirka A. , Horváth József , Kiss Árpád , Lehel Csaba , Lovász László , Mátrai Miklós , Mód G. , Nagy Klára , Óhegyi E. , Pelikán József , Simonovits András , Somos Péter , Szajcz M. , Szeidl László , Székely Gábor , Szemkeő Judit , Szentai Judit , Szepesvári Gy. , Szilágyi Tivadar , Veres Ferenc
Füzet:	1964/február, 72 - 73. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül sokszögekben, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/május: 845. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a szóban forgó átló hossza $x$ (méter), a téglalap másik oldala $z$ , így az egyenlőszárú derékszögű háromszög befogója $x / \sqrt[]{2}$ , az ötszög kerülete

\begin{matrix} 2 z + x + 2 \frac{x}{\sqrt[]{2}} = 255, 3 = k . \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} z = \frac{k - (1 + \sqrt[]{2}) x}{2}, \end{matrix}

és az ötszög területe

\begin{matrix} y = x z + \frac{x^{2}}{4} = \frac{1}{4} [2 k x - (1 + 2 \sqrt[]{2}) x^{2}] . \end{matrix}

(1)

Innen

x = 66

-tal

y = 4255, 74 m^{2}

x = 67

-tel

y = 4256, 10 m^{2}

, tehát az átló hosszát

67

m-nek véve a körülhatárolt terület nagyobb, az eltérés azonban kevesebb

0, 4 m^{2}

-nél. (

\sqrt[]{2} \approx 1, 414213

-ot véve, mert 6 jegy kell).

Még jobb javaslatot úgy találhatunk, ha megkeressük azt az

x

-et, mely mellett

y

értéke maximális. (1) írható

y = b x - a x^{2}

alakban, ahol

b

és

a

pozitívok. Teljes négyzetté kiegészítéssel

\begin{matrix} y = - a (x^{2} - \frac{b}{a} x) = - a [{(x - \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}}] = \frac{b^{2}}{4 a} - a {(x - \frac{b}{2 a})}^{2} . \end{matrix}

Itt a második tag negatív vagy 0, ezért

y

maximális értéke

b^{2} / 4 a

, és ezt akkor éri el, ha

x = b / 2 a

. ‐ Mármost

\begin{matrix} b = \frac{k}{2} és a = \frac{1 + 2 \sqrt[]{2}}{4} mellett x = \frac{k}{2 \sqrt[]{2} + 1} = \frac{k (2 \sqrt[]{2} - 1)}{7} \approx 66, 69 m, \end{matrix}

és ekkor a terület

\begin{matrix} \frac{b^{2}}{4 a} = \frac{k^{2} (2 \sqrt[]{2} - 1)}{28} = \frac{k}{4} \cdot x \approx 4256, 19 m^{2}, \end{matrix}

ami nem egészen

0, 1 m^{2}

-rel több az

x = 67

m-es átlóval adódó területnél.

Domokos Zsuzsanna (Makó, József A. g. I. o. t.)

Megjegyzések. 1. A legnagyobb

y

-t adó

x

-et a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség alapján is megkereshetjük. Átalakításokkal

\begin{matrix} \frac{y}{a} = \frac{b}{a} \cdot x - x^{2} = x (\frac{b}{a} - x) . \end{matrix}

Eszerint

y / a

négyzetgyöke mértani közép a jobb oldali két tényező között, amelyek összege viszont ‐ és így számtani közepük is ‐ állandó. Ennélfogva a szorzat és vele az idom területe is

\begin{matrix} x = \frac{b}{a} - x, x = \frac{b}{2 a} \end{matrix}

esetén maximális, ti. amikor a két tényező egyenlő, és ekkor egyenlő a számtani közép négyzetével.

Mátrai Miklós (Hódmezővásárhely, Bethlen G. g. II. o. t.)

2. A maximális területet adó

x

mellett

z

egyenlőnek adódik

x / \sqrt[]{2}

-vel, vagyis az ötszög 4 oldala egyenlő; a számpéldában

z = 47, 15

méter.

3. Számos versenyző differenciálszámítással vélte megoldani a feladatot. Ezeket nem fogadtuk el, mert csak arra jutottak, hogy ha egyáltalán van szélső érték, az csak

x = 66, 69

méternél lehet. Ez csak szükséges feltétel, de nem elegendő.