|
Feladat: |
845. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bálint L. , Bárány I. , Bóta Károly , Császár Z. , Csirik J. , Domokos Zsuzsanna , Ferenczi György , Fiala J. , Folly Gábor , Földes Antónia , Gálfi István , Hirka A. , Horváth József , Kiss Árpád , Lehel Csaba , Lovász László , Mátrai Miklós , Mód G. , Nagy Klára , Óhegyi E. , Pelikán József , Simonovits András , Somos Péter , Szajcz M. , Szeidl László , Székely Gábor , Szemkeő Judit , Szentai Judit , Szepesvári Gy. , Szilágyi Tivadar , Veres Ferenc |
Füzet: |
1964/február,
72 - 73. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Terület, felszín, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül sokszögekben, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1963/május: 845. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen a szóban forgó átló hossza (méter), a téglalap másik oldala , így az egyenlőszárú derékszögű háromszög befogója , az ötszög kerülete Ebből és az ötszög területe | | (1) | Innen -tal , -tel , tehát az átló hosszát m-nek véve a körülhatárolt terület nagyobb, az eltérés azonban kevesebb -nél. (-ot véve, mert 6 jegy kell).
Még jobb javaslatot úgy találhatunk, ha megkeressük azt az -et, mely mellett értéke maximális. (1) írható alakban, ahol és pozitívok. Teljes négyzetté kiegészítéssel | | Itt a második tag negatív vagy 0, ezért maximális értéke , és ezt akkor éri el, ha . ‐ Mármost | | és ekkor a terület | | ami nem egészen -rel több az m-es átlóval adódó területnél.
Domokos Zsuzsanna (Makó, József A. g. I. o. t.)
Megjegyzések. 1. A legnagyobb -t adó -et a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség alapján is megkereshetjük. Átalakításokkal Eszerint négyzetgyöke mértani közép a jobb oldali két tényező között, amelyek összege viszont ‐ és így számtani közepük is ‐ állandó. Ennélfogva a szorzat és vele az idom területe is esetén maximális, ti. amikor a két tényező egyenlő, és ekkor egyenlő a számtani közép négyzetével.
Mátrai Miklós (Hódmezővásárhely, Bethlen G. g. II. o. t.)
2. A maximális területet adó mellett egyenlőnek adódik -vel, vagyis az ötszög 4 oldala egyenlő; a számpéldában méter.
3. Számos versenyző differenciálszámítással vélte megoldani a feladatot. Ezeket nem fogadtuk el, mert csak arra jutottak, hogy ha egyáltalán van szélső érték, az csak méternél lehet. Ez csak szükséges feltétel, de nem elegendő.
|
|