Kezdőlap


Feladat:	844. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Simon György , Staub Klára , Székely Gábor
Füzet:	1964/február, 71 - 72. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Másodfokú diofantikus egyenletek, Sakktáblával kapcsolatos feladatok, Prímtényezős felbontás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/május: 844. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Oldjuk meg az egyenletet $x$ -re:

\begin{matrix} x = \frac{- y \pm \sqrt[]{9 y^{2} + 52}}{2} . \end{matrix}

x

y

pozitív egész számok, így

9 y^{2} + 52

is egész szám, sőt teljes négyzet kell hogy legyen:

\begin{matrix} 9 y^{2} + 52 = k^{2}, k^{2} - 9 y^{2} = (k + 3 y) (k - 3 y) = 52. \end{matrix}

Elég

k

-t pozitívnak vennünk, így

k + 3 y

, és vele

k - 3 y

is pozitív egész. Ezért 52-t két pozitív egész szám szorzatára kell bontanunk. Törzsszámhatványok szorzatára bontva

52 = 2^{2} \cdot 13

. Egyik tényező páros lesz, ezért a másiknak is párosnak kell lennie, mert két egész szám (ti.

k

és

3 y

) összege és különbsége egyenlő párosságú. Így csak a

26 \cdot 2

felbontás jön tekintetbe. A

\begin{matrix} k + 3 y = 26, k - 3 y = 2 \end{matrix}

egyenletrendszerből

k = 14

y = 4

, és

x

pozitív értéke

x = 5

. Ezek szerint a bábu csak az 5. sor és a 4. oszlop keresztezésében levő mezőn lehet, helyzete egyértelműen meghatározott.

Staub Klára (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. I. o. t.)

II. megoldás. Az adott egyenlet bal oldala két tényező szorzatára bontható:

\begin{matrix} x^{2} - y^{2} + x y - y^{2} = (x + y) (x - y) + y (x - y) = (x + 2 y) (x - y) . \end{matrix}

A tényezők egész számok, az első pozitív, ezért a jobb oldali 13-at is pozitív egész számok szorzatára kell bontanunk. 13 prímszám, ezért

13 = 13 \cdot 1

. Most már az

\begin{matrix} x + 2 y = 13, x - y = 1 \end{matrix}

egyenletrendszerből

x = 5

y = 4

. Más megoldás nincs, mert

x + 2 y > x - y

Simon György (Budapest, József A. g. I. o. t.)

Megjegyzés. Egyik megoldásban sem használtuk fel a sakktábla méretét. Ezért az egyenlet minden

n \times n

mezős táblán meghatározza a báb helyzetét, hacsak

n \geq 5

Székely Gábor (Budapest, Madách I. g. II. o. t.)