Feladat: 843. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Gárdos Eszter ,  Rásó István 
Füzet: 1964/február, 70 - 71. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1963/május: 843. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Mindegyik egyenletben csak két ismeretlen szerepel a három közül, mindegyik egyenletben másik kettő. Fejezzük ki y-nal az első egyenletből x-et, a másodikból z-t, ezeket a harmadik egyenletbe helyettesítve egyismeretlenes egyenletet kapunk y-ra:

x=2yy-1,z=yy-3,2y2(y-1)(y-3)=yy-3+8yy-1.
A törtek eltávolításával, rendezéssel (feltéve természetesen, hogy y≠1, y≠3)
7y2-25y=y(7y-25)=0,
amiből y1=0, y2=25/7 (nem kizárt értékek), és folytatólag a rendszer két megoldása:
x1=0,y1=0,z1=0;x2=259,y2=257,z2=254.
Mindkét értékrendszer valóban megoldás.
 
 Rásó István (Ajka, Bródy I. g. II. o. t.)
 
II. megoldás. Egyik egyenletben sincs ismeretlentől mentes tag (továbbá nem fordul elő ismeretlennel való osztás), ezért x1=0, y1=0, z1=0 egy megoldása az egyenletrendszernek. Tovább ettől különböző megoldást keresünk. Ez csak olyan lehet, amelyikben egyik ismeretlen sem 0, mert ha pl. x=0, akkor az első és harmadik egyenletből y-ra és z-re is 0 adódik. Hasonlóan okoskodhatunk, ha y=0, vagy z=0.
Osszuk az első egyenletet xy-nal, a másodikat yz-vel, a harmadikat zx-szel, így az
1x=t,1y=u,1z=v
új ismeretlenekre elsőfokú egyenletrendszert kapunk:
1=u+2t,1=v+3u,1=t+4v.

Az elsőből u=1-2t, ezt a másodikba helyettesítve, majd v-t kifejezve és a harmadikba helyettesítve
1=v+3-6t,v=6t-2,9=25t,
innen
t=925,v=425,u=725,
ebből pedig a fenti x2, z2, y2 megoldást kapjuk.
 
 Gárdos Eszter (Pécs, Janus Pannonius lg. I. o. t.)