Kezdőlap


Feladat:	841. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bárány I. , Bóta Károly , Ferenczi György , Gagyi-Pálffy Gy. , Kiss A. , Krassai Éva , Lovász László , Mátrai Miklós , Nagy Klára , Pelikán József , Szabó Mihály , Szeidl László , Szentai Judit , Tongori Éva
Füzet:	1964/január, 25 - 26. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú diofantikus egyenletek, Súlyvonal, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Számelmélet alaptétele, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/március: 841. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Meg kell keresnünk, hogy az adott mértékszámok közül melyik három a kérdéses háromszög oldala. A háromszög $a$ , $b$ , $c$ oldalai és a hozzájuk tartozó $s_{a}$ , $s_{b}$ , $s_{c}$ súlyvonalak között a következő összefüggések állnak fenn:¹

\begin{matrix} s_{a}^{2} = \frac{- a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2}}{4}, s_{b}^{2} = \frac{2 a^{2} - b^{2} + 2 c^{2}}{4}, s_{c}^{2} = \frac{2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}}{4} . \end{matrix}

(1)

Felhasználjuk továbbá, hogy az adott mértékszámok mindegyike egész.
Válasszuk a betűzést úgy, hogy

s_{a}

és

s_{b}

egészek, tehát a négyzetük is egész. Így

\begin{matrix} s_{a}^{2} + s_{b}^{2} = \frac{a^{2} + b^{2}}{4} + c^{2} \end{matrix}

egész, tehát

a^{2} + b^{2}

osztható 4-gyel. Így

a

is,

b

is páros, mert egy páros és egy páratlan szám négyzetösszege páratlan volna, két páratlan szám négyzetösszege pedig maradékul 2-t adna 4-gyel osztva, hiszen

{(2 k + 1)}^{2} = 4 k (k + 1) + 1

a

és

b

páros voltából következik, hogy

c^{2}

is páros, mert az első összefüggést átrendezve:

\begin{matrix} c^{2} = 2 (\frac{a^{2}}{4} - 2 \frac{b^{2}}{4} + s_{a}^{2}), \end{matrix}

és a zárójelben mindegyik tag egész. Láttuk, hogy páratlan szám négyzete páratlan, így

c

csak úgy lehet egész, ha páros. Eszerint az adott mértékszámok közül csak 16, 18 és 22 lehetnek az oldalak.
Mármost

a = 22

b = 18

c = 16

-tal

s_{a} = 13

s_{b} = 17

, ezek az adatok között szerepelnek, így

s_{c}

a keresett:

s_{c} = \sqrt[]{340} \approx 18, 44

egység.

Krassai Éva (Székesfehérvár, Teleki B. lg. II. o. t.)

Megjegyzések. 1. Tetszetős volna a megoldást így fejezni be: ,,Az (1) kifejezések összege így alakítható:

\begin{matrix} s_{a}^{2} + s_{b}^{2} + s_{c}^{2} = 3 [{(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{b}{2})}^{2} + {(\frac{c}{2})}^{2}] = 3 (64 + 81 + 121) = 798. \end{matrix}

Az ismert súlyvonalak négyzetösszege 458, tehát a harmadik súlyvonal négyzete 340.''
Ez azonban elvileg nem helyes. A háromszög meghatározására 5 adatunk volt, ha szerepüket nem pontosan ismertük is. Ellenőriznünk kellett, hogy a 3 oldal nyert kiválasztása megegyezésben van-e a további 2 adattal.

2. Kissé más úton is kiválaszthatók az oldalak mértékszámai. Mindegyik súlyvonal kisebb, mint a vele egy csúcsból kiinduló oldalak közül a nagyobbik, mert a súlyvonallal kettévágott háromszögnek a mondott nagyobbik oldalt tartalmazó részháromszögében az oldallal szemben tompaszög fekszik, egyenlő szárú háromszögben pedig derékszög. Ezért a legnagyobb adott mértékszám: 22, csak oldal lehet, legyen ez

a

. Ezzel az (1) kifejezésekből

\begin{matrix} s_{a}^{2} = - 121 + \frac{b^{2} + c^{2}}{2}, s_{b}^{2} = 242 + \frac{2 c^{2} - b^{2}}{4}, s_{c}^{2} = 242 + \frac{2 b^{2} - c^{2}}{4}, \end{matrix}

és közülük legalább kettő egész. Ha

b

páratlan, akkor

s_{b}^{2}

nem egész, ezért

s_{a}^{2}

és

s_{c}^{2}

egészek. Az első most csak páratlan

c

-vel egész, így viszont

s_{c}^{2}

nem egész. Eszerint

b

nem lehet páratlan, és ugyanígy

c

sem.

Mátrai Miklós (Hódmezővásárhely, Bethlen G. g. II. o. t.)

¹Lásd pl. a 752. gyakorlatot, K. M. L. 25 (1962/11) 150. o.