A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen a keresett négyszög , amelyben az oldal, az átló és a szög az előírt nagyságúak. Négyszögünk húrnégyszög, ezért . Így az háromszög megszerkeszthető, két oldalából és egy szögéből.
Másrészt a keresett négyszögnek van beírt köre is, így fennáll , amiből . Itt a bal oldali különbség a megszerkesztett részháromszögből ismert, tehát az háromszögben ismerjük az oldalt, a másik két oldal különbségét és a köztük levő szöget. ‐ Ha a különbség 0, vagyis a háromszög egyenlő szárú, akkor a másik két szög is ismert, ezeket felmérve az ismert oldalra, megkapjuk a keresett másik részháromszöget is. ‐ Ha a különbség nem nulla, akkor válasszuk a betűzést úgy, hogy pozitív legyen. Mérjük rá -re a szakaszt, ekkor egyenlő szárú háromszög, -nél levő külső szögére . Így az háromszög két oldalából és a nagyobbikkal szemközti szögből megszerkeszthető, és pl. felező merőlegese kimetszi az egyenesből a csúcsot. Ha , akkor az háromszögre 1 megoldás van, ugyanígy akkor is, ha , és , vagyis ; ha , és , akkor nincs megoldás; ha , akkor lehet a feladatnak 2 vagy 1 megoldása, vagy nem kapunk megoldást. A szerkesztés további lépései a létrejött háromszögből kiindulva mindig végrehajthatók és egyértelműek. Ugyanis, mint láttuk, , ezért az átlónak nagyobbnak kell lennie az különbségnél, ez a feltétel azonban ‐ amennyiben az háromszög létrejött ‐ teljesítve van. Mindezek szerint a négyszögre annyi megoldást kapunk, ahány megoldás az háromszögre adódott.
Sarkadi Nagy István (Debrecen, Református g. I. o. t.)
Megjegyzés. A szerkesztés második része lényegében a 787. feladat egy megoldása. A 27. kötet (1963/10.) 66. oldalán a fentin kívül egy másik megoldás is található rá, ami szintén előfordult e feladat megoldásai közt is. |