Feladat: 840. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Sarkadi Nagy István 
Füzet: 1964/április, 163 - 164. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Húrnégyszögek, Érintőnégyszögek, Diszkusszió, Négyszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1963/március: 840. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a keresett négyszög ABCD, amelyben az AB oldal, az AC átló és a δ=ADC szög az előírt nagyságúak. Négyszögünk húrnégyszög, ezért ABC∢=180∘-δ. Így az ABC háromszög megszerkeszthető, két oldalából és egy szögéből.

 
 

Másrészt a keresett négyszögnek van beírt köre is, így fennáll AB+CD=BC+DA, amiből AB-BC=AD-CD. Itt a bal oldali különbség a megszerkesztett ABC részháromszögből ismert, tehát az ACD háromszögben ismerjük az AC oldalt, a másik két oldal különbségét és a köztük levő szöget. ‐ Ha a különbség 0, vagyis a háromszög egyenlő szárú, akkor a másik két szög is ismert, ezeket felmérve az ismert oldalra, megkapjuk a keresett másik részháromszöget is. ‐ Ha a különbség nem nulla, akkor válasszuk a betűzést úgy, hogy pozitív legyen. Mérjük rá AD-re a DE=DC szakaszt, ekkor CDE egyenlő szárú háromszög, E-nél levő külső szögére AEC∢=EDC∢+DCE∢=δ+90∘-δ/2=90∘+δ/2. Így az ACE háromszög két oldalából és a nagyobbikkal szemközti szögből megszerkeszthető, és pl. CE felező merőlegese kimetszi az AE egyenesből a D csúcsot.
Ha AC>AB, akkor az ABC háromszögre 1 megoldás van, ugyanígy akkor is, ha AC=AB, és ABC∢<90∘, vagyis ADC∢>90∘; ha AC=AB, és ADC∢≤90∘, akkor nincs megoldás; ha AC<AB, akkor lehet a feladatnak 2 vagy 1 megoldása, vagy nem kapunk megoldást. A szerkesztés további lépései a létrejött ABC háromszögből kiindulva mindig végrehajthatók és egyértelműek. Ugyanis, mint láttuk, AEC∢>90∘, ezért az AC átlónak nagyobbnak kell lennie az AE=AD-DC=AB-BC különbségnél, ez a feltétel azonban ‐ amennyiben az ABC háromszög létrejött ‐ teljesítve van. Mindezek szerint a négyszögre annyi megoldást kapunk, ahány megoldás az ABC háromszögre adódott.
 
 Sarkadi Nagy István (Debrecen, Református g. I. o. t.)
 
Megjegyzés. A szerkesztés második része lényegében a 787. feladat egy megoldása. A 27. kötet (1963/10.) 66. oldalán a fentin kívül egy másik megoldás is található rá, ami szintén előfordult e feladat megoldásai közt is.