Feladat: 839. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Szeidl László 
Füzet: 1964/február, 69 - 70. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Logikai feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1963/március: 839. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Két személy (vagy szék) távolságát 1-nek vesszük, ha szomszédosak, különben pedig 1-gyel többnek, mint ahány személy ül ‐ ill. szék áll ‐ az asztalnak a köztük levő rövidebb ívén.
Megfelelő ülésrendet úgy keresünk, hogy a társaság tagjait este ‐ gondolatban ‐ egymás után ültetjük le minden lehető módon és a követelményt szem előtt tartva. A társaság tagjait a déli ülésrend egymásutánjában, valakitől kezdve A, B, C, D, ... betűkkel jelöljük. Este A-val kezdjük az ültetést egy tetszés szerinti helyen.

 
 
1. ábra
 

n=4 esetén csak 1 és 2 egységnyi távolság van a helyek között, csak a szemben levő helyek távolsága 2 egység. A-val B-t is, D-t is szembe kellene ültetnünk, ez lehetetlen.
n=5 esetén sincs 2-nél nagyobb távolság, de minden helytől 2 másik hely van 2 egységnyi távolságban, mondhatjuk így is: szemben. Így mindenkivel ketten ülnek szemben. A-val szembe két déli szomszédját: B-t és E-t kell ültetnünk; ezek így szomszédok lesznek, délben viszont szemben ültek, tehát kölcsönös helyzetük is megfelelő. Az A melletti két helyre C és D maradnak, akik délben A-val szemben ültek, másrészt egymás mellett; most viszont szemben lesznek, amint a rendező kívánja. C csak arra az oldalára ülhet A-nak, amelyiken E mellé kerül, mert nem ülhet B mellé. D-t A másik oldalára ültetve minden helyet betöltöttünk, és a követelmények teljesültek. A társaság tagjait a déli sorrendben összekötve csillagötszöget kapunk. B és E cseréjével is kapunk egy megoldást, az előbbinek a tükörképét az A-ból kiinduló átmérőre.
 
 
2. ábra
 

n=6 esetén A déli szomszédjai: B és F az A-val szemben levő és a két A-val második szomszéd helyre kerülhetnek. De BF távolság nem lehet 2, mint délben, ezért egyikük szembe ül A-val. Válasszuk a betűzést úgy, hogy ez B. C most már csak A mellé ülhet, mert délben 2 egységnyire ült tőle, éspedig A és F közé, mert nem ülhet most is szemben F-fel. Ezek után D és E számára este is két szomszédos hely marad, a kívánt elrendezés tehát lehetetlen.
 
 
3. ábra
 

n=7 esetén próbálkozzunk a csillagötszög példájára csillaghétszöggel. Két ilyen van: ha minden második székre ültetjük a déli egymásután tagjait és ha minden harmadikra. Mindkettő megoldást ad kérdésünkre.
 
 Szeidl László (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. I. o. t.)
 
Megjegyzés. Nem nehéz belátni, hogy a kétféle csillaghétszögből adódó ültetési renden felül nincs más megoldás.