Kezdőlap


Feladat:	838. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Czina Ferenc
Füzet:	1963/december, 219. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/március: 838. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Alakítsuk át az első egyenlet bal oldalát:

\begin{matrix} (x^{3} + y^{3}) + x^{3} y^{3} = {(x + y)}^{3} - 3 x y (x + y) + x^{3} y^{3} = 12, \end{matrix}

és helyettesítsük be a második egyenletből

x + y

-ra adódó kifejezést:

\begin{matrix} 3 x^{2} y^{2} = 12, x y = \pm 2, és így x + y = \mp 2. \end{matrix}

Most már az

\begin{matrix} x y = 2, x + y = - 2 \end{matrix}

egyenletrendszer megoldását az

\begin{matrix} u^{2} + 2 u - 2 = 0 \end{matrix}

egyenlet

u_{1}

u_{2}

gyökei adják bármelyik sorrendben véve:

\begin{matrix} x_{1} = u_{1} = - 1 + \sqrt[]{3}, y_{1} = u_{2} = - 1 - \sqrt[]{3}; x_{2} = y_{1}, y_{2} = x_{1}; \end{matrix}

x y = - 2

x + y = 2

egyenletrendszerből pedig hasonlóan

\begin{matrix} x_{3} = 1 + \sqrt[]{3}, y_{3} = 1 - \sqrt[]{3}; x_{4} = y_{3}, y_{4} = x_{3} . \end{matrix}

Czina Ferenc (Makó, József A. g. II. o. t.)

Lásd még az 1964/2 79. old. Helyesbítéseket. [A szerk.]