Kezdőlap


Feladat:	837. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pagony Mária
Füzet:	1964/február, 68 - 69. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Gyakorlat, Irracionális egyenletek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/március: 837. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az első egyenlet bal oldalának nevezője

\begin{matrix} (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) = (x + y) [{(x - \frac{y}{2})}^{2} + \frac{3 y^{2}}{4}], \end{matrix}

a második tényező csak akkor 0, ha

x = y = 0

, ugyanígy a második egyenletben az

x^{4} + y^{4}

nevező is. Ezt az értékpárt kizárjuk, ugyanígy azokat is, amelyekre

x + y = 0

. Minthogy

\begin{matrix} x^{4} + y^{4} = {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 2 x^{2} y^{2}, \end{matrix}

célszerű új ismeretlennek bevezetni az

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = u, x y = v \end{matrix}

(1)

kifejezéseket. Ezekkel egyenleteink némi átalakítás után

\begin{matrix} 2 u - 2 v = 5, 8 u^{2} - 16 v^{2} = 23 u . \end{matrix}

v

kiküszöbölésével

\begin{matrix} 8 u^{2} - {(4 u - 10)}^{2} - 23 u & = - 8 u^{2} + 57 u - 100 = 0, \\ u_{1} = \frac{25}{8}, & u_{2} = 4, és így \\ v_{1} = \frac{5}{8}, & v_{2} = \frac{3}{2} . \end{matrix}

(1) átalakításával mindkét talált

u

v

értékpárhoz egy ilyen egyenletrendszer tartozik:

\begin{matrix} {(x + y)}^{2} = u + 2 v, {(x - y)}^{2} = u - 2 v . \end{matrix}

Véve mindkét egyenlet négyzetgyökét, elsőfokú egyenletrendszert kapunk

x

y

-ra:

\begin{matrix} x + y = \sqrt[]{u + 2 v}, x - y = \sqrt[]{u - 2 v}, amiből \\ x = \frac{1}{2} (\sqrt[]{u + 2 v} + \sqrt[]{u - 2 v}), y = \frac{1}{2} (\sqrt[]{u + 2 v} - \sqrt[]{u - 2 v}) . \end{matrix}

Tekintettel a négyzetgyökök két értékére, másrészt a szimmetriára, az

u_{1}

v_{1}

értékpárból

\begin{matrix} x_{1} = \frac{1}{8} (\sqrt[]{70} + \sqrt[]{30}), y_{1} = \frac{1}{8} (\sqrt[]{70} - \sqrt[]{30}), \\ x_{2} = y_{1}, y_{2} = x_{1}; x_{3} = - x_{1}, y_{3} = - y_{1}; x_{4} = - y_{1}, y_{4} = - x_{1}, \end{matrix}

és hasonlóan

u_{2}

v_{2}

-ből:

\begin{matrix} x_{5} = \frac{1}{2} (\sqrt[]{7} + 1), y_{5} = \frac{1}{2} (\sqrt[]{7} - 1); \\ x_{6} = y_{5}, y_{6} = x_{5}; x_{7} = - x_{5}, y_{7} = - y_{5}; x_{8} = - y_{5}, y_{8} = - x_{5} . \end{matrix}

Egyik értékpárra sem áll fenn

x + y = 0

, így mind megoldása az egyenletnek.

Pagony Mária (Budapest, Berzsenyi D. lg. II. o. t.)