A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A feladatnak nincs megoldása, mert egyik számjeggyel sem lehet egyenlő. Nem lehet , mert kétjegyű, sem , sem , mert ezek négyzete jegyre végződik, holott egyes helyi értékű jegye az -tól különböző . Nem lehet , mert így -ből , viszont nincs olyan , melynek tízes helyi értékű jegye 9. Hasonlóan az kiindulásból , így és , holott . Végül -t 8-nak vagy 9-nek véve , , , és csupa különböző jegynek adódik: viszont a szám egyik esetben sem négyzetszám: és itt a második tényező számjegyeinek összege 28, a tényező nem osztható 3-mal; ill. holott négyzetszámot 3-mal osztva a maradék nem lehet 2, mert | | Ezzel állításunkat bebizonyítottuk.
Székely Gábor (Budapest, Madách I. g. II. o. t.)
II. megoldás. Az adatok szerint egyrészt | | másrészt
A két kifejezés egyenlőségéből rendezés és egyszerűsítés után | | (1) | Eszerint a szorzat osztható 5-tel, tehát tényezőinek legalább az egyike osztható 5-tel, vagyis egyenlő 5-tel, vagy 0-val. Nem lehet , mert kétjegyű, sem , mert ennek négyzete 5-re végződik, holott egyes helyi értékű jegye a -től különböző . Nem lehet sem, mert így a zárójelben negatív szám áll, hiszen , viszont , a bal oldalon pedig nem lehet negatív. Az egyetlen maradó lehetőség mellett (1)-ből , ezért , . Másrészt , mert kétjegyű. Ezeket egybevetve , , , , , ami ki van zárva. Így a feladatnak nincs megoldása.
Herényi István (Budapest, I. István g. I. o. t.)
Megjegyzések. 1. Hasonlóan haladhatunk az szám négyzetét a lépcsőző eljárással képezve:
(az x-ek helyén jegyek állnak, a pontok helyén biztosan zérusok). Ugyanis az első két oszlopból 2AB<10, a tízes helyi értékű oszlopból pedig 2⋅AB¯⋅C osztható 10-zel.
Hirka Ferenc (Budapest, XVII., Szabadság sugárúti ált. isk. VIII. o. t.)
2. A II. megoldás C=2A összefüggése (1) átalakításából így adódik: A bal oldali zárójel értéke A≥4 miatt több mint 400. A jobb oldalon C-2A nem negatív, mert a bal oldal nem az. Így C-2A értéke legfeljebb 1, a jobb oldalé legfeljebb 45, tehát az egyenlőség csak B=0-val állhat fenn. Így C≠0, ezért a zárójelben C=2A.
Horányi János (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. II. o. t.)
3. Sok dolgozat a 4082=166464, 42=16, 82=64 megoldást adta meg, ezeket 3 pontra értékelte a szerkesztőség. |