Kezdőlap


Feladat:	828. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Herényi István , Hirka Ferenc , Horányi János , Székely Gábor
Füzet:	1963/november, 148 - 150. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tizes alapú számrendszer, Szorzat, hatvány számjegyei, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/március: 828. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A feladatnak nincs megoldása, mert $A$ egyik számjeggyel sem lehet egyenlő. Nem lehet $A < 4$ , mert $A^{2}$ kétjegyű, sem $A = 5$ , sem $A = 6$ , mert ezek négyzete $A$ jegyre végződik, holott $A^{2}$ egyes helyi értékű jegye az $A$ -tól különböző $E$ . Nem lehet $A = 7$ , mert így $A^{2}$ -ből $E = 9$ , viszont nincs olyan $C^{2}$ , melynek tízes helyi értékű jegye 9. Hasonlóan az $A = 4$ kiindulásból $E = 6$ , így $C = 8$ és $F = 4$ , holott $F \neq A$ . Végül $A$ -t 8-nak vagy 9-nek véve $A$ , $D$ , $E$ , $F$ és $C$ csupa különböző jegynek adódik:

\begin{matrix} \begin{matrix} A & D & E & F & C \\ 8 & 6 & 4 & 9 & 7 \\ 9 & 8 & 1 & 6 & 4 \end{matrix} \end{matrix}

viszont a

\bar{D E E F E F}

szám egyik esetben sem négyzetszám:

\begin{matrix} 644 949 = 9 \cdot 71 661 = 3^{3} \cdot 23 887, \end{matrix}

és itt a második tényező számjegyeinek összege 28, a tényező nem osztható 3-mal; ill.

\begin{matrix} 811 616 = 3 \cdot 270 538 + 2, \end{matrix}

holott négyzetszámot 3-mal osztva a maradék nem lehet 2, mert

\begin{matrix} {(3 k)}^{2} = 3 \cdot 3 k^{2} és {(3 k \pm 1)}^{2} = 3 k (3 k \pm 2) + 1. \end{matrix}

Ezzel állításunkat bebizonyítottuk.

Székely Gábor (Budapest, Madách I. g. II. o. t.)

II. megoldás. Az adatok szerint egyrészt

\begin{matrix} \bar{A B C^{2}} = \bar{D E E F E F} = \bar{D E} \cdot 10^{4} + \bar{E F} \cdot 10^{2} + \bar{E F} = 10^{4} A^{2} + 101 \cdot C^{2}, \end{matrix}

másrészt

\begin{matrix} \bar{A B C^{2}} = {(10^{2} A + 10 B + C)}^{2} = \\ = 10^{4} A^{2} + 2 \cdot 10^{3} A \cdot B + 10^{2} B^{2} + 2 \cdot 10^{2} A \cdot C + 20 B \cdot C + C^{2} . \end{matrix}

A két kifejezés egyenlőségéből rendezés és egyszerűsítés után

\begin{matrix} B \cdot C = 5 (C^{2} - B^{2} - 20 A \cdot B - 2 A \cdot C) . \end{matrix}

(1)

Eszerint a

B \cdot C

szorzat osztható 5-tel, tehát tényezőinek legalább az egyike osztható 5-tel, vagyis egyenlő 5-tel, vagy 0-val.
Nem lehet

C = 0

, mert

C^{2}

kétjegyű, sem

C = 5

, mert ennek négyzete 5-re végződik, holott

C^{2}

egyes helyi értékű jegye a

C

-től különböző

F

. Nem lehet

B = 5

sem, mert így a zárójelben negatív szám áll, hiszen

C^{2} < 100

, viszont

20 A \cdot B = 100 A \geq 100

, a bal oldalon pedig

B \cdot C

nem lehet negatív. Az egyetlen maradó

B = 0

lehetőség mellett (1)-ből

C^{2} - 2 A C = C (C - 2 A) = 0

, ezért

2 A = C < 10

A < 5

. Másrészt

A \geq 4

, mert

A^{2}

kétjegyű. Ezeket egybevetve

A = 4

C = 8

D = 1

E = 6

F = 4 = A

, ami ki van zárva. Így a feladatnak nincs megoldása.

Herényi István (Budapest, I. István g. I. o. t.)

Megjegyzések. 1. Hasonlóan haladhatunk az

A B C

szám négyzetét a lépcsőző eljárással képezve:

\begin{matrix} A^{2} & D & E & . & . & . & . \\ 2 \cdot A \cdot B & x & x & x & . & . & . \\ B^{2} & x & x & . & . \\ 2 \cdot \bar{A B} \cdot C & x & x & x & x & . \\ C^{2} & E & F \\ D & E & E & F & E & F \end{matrix}

(az

x

-ek helyén jegyek állnak, a pontok helyén biztosan zérusok). Ugyanis az első két oszlopból

2 A B < 10

, a tízes helyi értékű oszlopból pedig

2 \cdot \bar{A B} \cdot C

osztható 10-zel.

Hirka Ferenc (Budapest, XVII., Szabadság sugárúti ált. isk. VIII. o. t.)

2. A II. megoldás

C = 2 A

összefüggése (1) átalakításából így adódik:

\begin{matrix} B (100 A + 5 B + C) = 5 C (C - 2 A) . \end{matrix}

A bal oldali zárójel értéke

A \geq 4

miatt több mint 400. A jobb oldalon

C - 2 A

nem negatív, mert a bal oldal nem az. Így

C - 2 A

értéke legfeljebb 1, a jobb oldalé legfeljebb 45, tehát az egyenlőség csak

B = 0

-val állhat fenn. Így

C \neq 0

, ezért a zárójelben

C = 2 A

Horányi János (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. II. o. t.)

3. Sok dolgozat a

408^{2} = 166 464

4^{2} = 16

8^{2} = 64

megoldást adta meg, ezeket 3 pontra értékelte a szerkesztőség.