Kezdőlap


Feladat:	827. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bárány I. , Bély M. , Császár Z. , Czina F. , Domokos Zsuzsa , Fleischer T. , Hajnal L. , Hoffer Anna , Kelemen G. , Kiss A. , Kiss Katalin , Lippner Gy. , Lovász L. , Nagy Klára , Nagy Lóránt , Óhegyi E. , Pelikán J. , Siket Aranka , Sólyom Irén , Surányi L. , Szabó Z. , Szajcz M. , Szalai M. , Székely G. , Tényi G. , Treer Mária , Török L. , Zichy L.
Füzet:	1963/november, 148. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/március: 827. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kéttagúak negyedik hatványát kétszeri négyzetreemeléssel polinommá alakíthatjuk:

\begin{matrix} {(n - 1)}^{4} = {(n^{2} - 2 n + 1)}^{2} = n^{4} - 4 n^{3} + 6 n^{2} - 4 n + 1, \\ {(n + 1)}^{4} = n^{4} + 4 n^{3} + 6 n^{2} + 4 n + 1. \end{matrix}

Ezek alapján az összeg

S = 3 n^{4} + 12 n^{2} + 2

. A 10-zel növelt összeg így írható:

\begin{matrix} S + 10 = 3 (n^{4} + 4 n^{2} + 4) = 3 {(n^{2} + 2)}^{2} . \end{matrix}

Ez valóban négyzetszám 3-szorosa, mert

n^{2} + 2

egész szám.
Akkor lesz csak a talált szám a négyzetszámok 3-szorosai közül az első

S

-nél nagyobb, ha a megelőző:

3 {(n^{2} + 1)}^{2}

még nem nagyobb S-nél, tehát ha

\begin{matrix} 3 n^{4} + 12 n^{2} + 2 \geq 3 {(n^{2} + 1)}^{2} = 3 n^{4} + 6 n^{2} + 3, \\ 6 n^{2} \geq 1. & (1) \end{matrix}

Ez teljesül minden a 0-tól különböző egész számra, de

n = 0

-ra nem. Emiatt az egyetlen eset miatt az illető állítása ‐ a kimondott alakban ‐ nem igaz.
Igazzá válik viszont, ha az ,,egész'' megjelölés helyett a ,,0-tól különböző egész'' megjelölést használjuk. Vagy pl. úgy is, ha ,,egész szám'' helyett ,,természetes szám''-ot mondunk.

Hoffer Anna (Budapest, Hámán K. lg. II. o. t.)

II. megoldás. Adjunk a kérdéses

S = 3 n^{4} + 12 n^{2} + 2

összeghez 10 helyett egy

t

természetes számot és keressük

t

-nek azt a legkisebb értékét, amely mellett az

S + t

összeg 3-ad része:

\begin{matrix} n^{4} + 4 n^{2} + \frac{2 + t}{3} \end{matrix}

négyzetszám. Mindjárt látjuk, hogy

n = 0

mellett megfelel

t = 1

. Ez kisebb 10-nél, tehát az állítás nem igaz.

Megjegyzés. A hiányos megoldások nem tettek különbséget ,,egész szám'' és ,,természetes szám'' között. Előfordult az is, hagy a versenyző felvetette a fenti kulcskérdést, azonban (1)-re kijelentette, hogy minden egész számra érvényes.