Feladat: 825. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bana I. ,  Bárány Imre ,  Berkes István ,  Bodonhelyi Márta ,  Boldizsár F. ,  Bulkai L. ,  Demetrovics J. ,  Fejes Tóth G. ,  Ferenczi György ,  Ferenczi S. ,  Gyenes Gábor ,  Harkányi Edit ,  Herényi István ,  Kersner R. ,  Kiss A. ,  Kiss Katalin ,  Kóbor Gy. ,  Körner János ,  Lovász László ,  Márki László ,  Mátrai Miklós ,  Molnár Ida ,  Móri A. ,  Nagy Klára ,  Nagy Zsuzsa ,  Pelikán József ,  Simon Gy. ,  Simonovits András ,  Somos I. ,  Szabó Mihály ,  Szabó Zoltán ,  Szamosvári Ágnes ,  Szeidl László ,  Székely Gábor ,  Szemkeő Judit ,  Szentai Judit ,  Szidarovszky Klára ,  Szutrély Judit ,  Tari P. ,  Treer Mária ,  Török László ,  Újvári Mária ,  Varga Kornél ,  Vesztergombi Katalin ,  Vitéz L. ,  Zomi L. 
Füzet: 1963/november, 145 - 146. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Derékszögű háromszögek geometriája, Numerikus és grafikus módszerek, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1963/február: 825. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az ABC derékszögű háromszögben AC=b=465 m, BAC=α=51,6, BC=a, AB=c, ABC=β=38,4. A szögek radiánban vett mértékszámát is α-val, β-val jelöljük, ez nem okoz félreértést.

 
 

I. Az említett közelítő képletet mindkét hegyes szögre alkalmazva:
3a2c+b=α,3b2c+a=β,
elsőfokú egyenletrendszert kapunk a-ra és c-re:
3a-2αc=αb,βa+2βc=3b.
Innen
a=αββ+3α+3b,c=9-αβ2β(α+3)b,
α és β értékét a π22/7 közelítő értéket használva 0,04% hibával kapjuk, tehát a negyedik értékes jegyben kis hibával. Másrészt a és c első értékes jegye százas helyi értékűnek várható, tehát 3 értékes jegyre kell számítanunk. Ezért az előkészítő számítások első lépéseiben 5, majd csak 4 értékes jegyet számítunk ki:
α1151,6630,β1138,4630;a=51,638,41138,4+18901151,6+1890465119320943724651,264465588 m,c=96302-11251,638,421138,4(1151,6+1890)465333230020762004651,605465746 m.



II. Másrészt a függvénytáblázat felhasználásával a=btgα4651,262586,8 m,
c=bcosα4650,62111,610465748,6 m.
Ezek szerint egyik számításunk hibája sem haladja meg a 0,5%-ot.
 
 Bárány Imre (Budapest‐Mátyásföld, Corvin Mátyás g. I. o. t.)
 
Megjegyzések. 1. Elegendő a közelítő képletet a kisebb szögre alkalmazni ‐ mert így kisebb a hiba ‐, ugyanis a másik egyenletet pótolhatjuk a Pythagorász‐tétellel. Így viszont másodfokú egyenletre jutunk, a számítás bonyolultabb:
βa+2βc=3b,c2-a2=b2,a=b3β(-3±29-3β2),c=b3β(69-3β2),


és a két megoldás közül ki kell választanunk a megfelelőt. Innen a586 és C747 adódik, ezek a pontos értéktől valóban még kevésbé térnek el.
 
Ferenczi György (Budapest, I. István g. II. o. t.)

 
2. Sok dolgozatot nehezen ellenőrizhetővé tett a számadatok korai behelyettesítése. ‐ Néhányan ügyesen kihasználták, hogy jó közelítéssel α0,900 és β0,670.
 
3. Lásd még az 1229. feladathoz1 fűzött 2. megjegyzést.
1L. ezen számban, 133. o.