Kezdőlap


Feladat:	824. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Mátrai Miklós , Újvári Mária
Füzet:	1964/január, 23 - 24. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Eltolás, Súlypont, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/február: 824. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az illető meglátásai helyesek. Ugyanis $A F$ felezőpontját $C'$ -vel, $F B$ -ét $D'$ -vel jelölve $C C'$ és $D D'$ merőleges $A B$ -re, így az $A C C'$ és $F D D'$ derékszögű háromszögből $C C' = \sqrt[]{5}$ cm, és $D D' = \sqrt[]{45} = 3 \sqrt[]{5} cm = 3 C C'$ . Továbbá $A D' = 6 cm = 3 A C'$ , így az $A C C'$ és $A D D'$ derékszögű háromszögek hasonlóak, mert befogóik aránya egyenlő. Ezért egyrészt $D A D' ∢ = C A C' ∢$ , tehát $A$ , $C$ , $D$ egy egyenes pontjai, másrészt az átfogók aránya is $1 : 3$ , ennélfogva $A D = 3 A C = 9$ cm, és így $C D = A D - A C = 6$ cm.

Ujvári Mária (Nagykőrös, Arany J. g. I. o. t.)

II. megoldás. Toljuk át az

A F C

háromszöget úgy, hogy

A

csúcsa

F

-be essék. Ekkor

F

B

-be, a fenti

C'

D'

-be jut,

C

pedig a

D D'

szakasznak abba a

C_{1}

pontjába, amelyre

F C_{1} = A C = 3

cm. Megmutatjuk, hogy

C_{1}

azonos az

F B D

háromszög

S

súlypontjával.

S

D D'

és

F E

egyenesek metszéspontja, ahol

E

B D

oldal felezőpontja. Az

F E

súlyvonal hossza a 752. gyakorlatban¹ nyert összefüggés szerint

\begin{matrix} F E = \frac{1}{2} \sqrt[]{2 F B^{2} + 2 F D^{2} - B D^{2}} = \frac{9}{2} cm, \end{matrix}

másrészt

S

a súlyvonalnak

F

-től mért második harmadában van, így

F S = 3 cm = F C_{1}

amint állítottuk.
Egészítsük ki a

D F B

háromszöget

D F B G

paralelogrammává. Ennek

F G

átlója az

F C_{1}

egyenesen van, mert mindkettő felezi a

D B

szakaszt, tehát

F

C_{1}

G

egy egyenes pontjai. Másrészt

D A F G

is paralelogramma, mert

D G ∥ A F

és

D G = F B = A F

. Az

A D

oldal

F G

-ből áll elő az előbbivel ellentétes eltolással, így

C_{1}

visszajut

C

-be, tehát

C

rajta van

A D

-n.
Továbbá

A D = F G = 2 F E = 9

cm, tehát

C D = 6

cm.

Mátrai Miklós (Hódmezővásárhely, Bethlen G. g. II. o. t.)

¹K. M. L. 25 (1962/11) 149. o.