Kezdőlap


Feladat:	822. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Simig Gyula , Szongoth Gábor
Füzet:	1964/január, 22. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/február: 822. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A nevező első tényezője így írható:

\begin{matrix} \frac{1 - a \sqrt[]{a} + \sqrt[]{a} - a}{1 - \sqrt[]{a}} = \frac{(1 - a) + \sqrt[]{a} (1 - a)}{1 - \sqrt[]{a}} = \frac{(1 - a) (1 + \sqrt[]{a})}{1 - \sqrt[]{a}} \end{matrix}

Hasonlóan a második tényező:

\begin{matrix} \frac{(1 - a) (1 - \sqrt[]{a})}{1 + \sqrt[]{a}}, \end{matrix}

tehát a nevező

{(1 - a)}^{2}

. Ennélfogva az egész kifejezés

\begin{matrix} \frac{1 - a^{2} - {(1 - a)}^{2}}{{(1 - a)}^{2}} = \frac{2 a (1 - a)}{{(1 - a)}^{2}} = \frac{2 a}{1 - a} . \end{matrix}

Természetesen feltettük, hogy

a \neq 1

, különben az adott kifejezésnek nincs értelme, de az egyszerűsített végeredménynek sem.

Szongoth Gábor (Budapest, I. István g. II. o. t.)

II. megoldás. Vegyük észre, hogy

a \sqrt[]{a} = {(\sqrt[]{a})}^{3}

. Így az

\begin{matrix} \frac{1 - b^{3}}{1 - b} = 1 + b + b^{2} \end{matrix}

azonosság alapján ‐ azt előbb

b = \sqrt[]{a}

-val, majd

b = - \sqrt[]{a}

-val alkalmazva ‐ a nevező két tényezője

\begin{matrix} 1 + 2 \sqrt[]{a} + a = {(1 + \sqrt[]{a})}^{2}, ill. 1 - 2 \sqrt[]{a} + a = {(1 - \sqrt[]{a})}^{2}, \end{matrix}

tehát a nevező, a

c^{2} d^{2} = {(c d)}^{2}

azonosság alkalmazásával,

{(1 - a)}^{2}

. Tovább az I. megoldás szerint haladhatunk.

Simig Gyula (Pannonhalma, Benedekrendi g. II. o. t.)