Feladat: 821. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Márki László ,  Óhegyi Ernő ,  Valkó Ágnes 
Füzet: 1964/január, 20 - 22. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyenletrendszerek grafikus megoldása, Abszolútértékes egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1963/február: 821. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Vizsgáljuk meg az x és y előjele szerint adódó 4 lehetséges esetet külön‐külön. Tudjuk, hogy

hau≥0,akkor|u|=uéshau<0,akkor|u|=-u.

1) Ha x≥0, akkor y≥0, a rendszer
x+y=3,2x-y=3,
innen a szokásos módon x=2, y=1, mindkettő pozitív, megoldást kaptunk. Hasonlóan
 

2) x≥0y<0} esetén x-y=32x-y=3}-ból x=0, y=-3, megoldás;
 

3) x<0y≥0} esetén x+y=3-2x-y=3}-ból  x=-6, y=9, megoldás;
 

4) x<0y<0} esetén x-y=3-2x-y=3}-ból  x=0, y=-3,
 

itt x nem felel meg a feltevésnek, s így az x<0, y<0 feltevést kielégítő megoldás nincs.
Ezek szerint a rendszernek 3 megoldása van:
x1=2,y1=1;x2=-6,y2=9;x3=0,y3=-3.

A grafikus megoldást egy ábrán végezhetjük el, mert az 1)‐4) feltevések a derékszögű koordinátarendszernek csak egy‐egy síknegyedét használják fel, és e negyedek nem nyúlnak egymásba.
 
 

Az x+|y|=3 egyenletet az ábra folytonosan kihúzott grafikonja ábrázolja, a 2|x|-y=3 egyenletet pedig a szaggatott. Közös M1, M2, M3 pontjaik megfelelnek a fenti 3 megoldásnak.
 
 Valkó Ágnes (Budapest, Szilágyi E. lg. II. o. t.)
 
Megjegyzés. Az első egyenlet szerint |y|=3-x≥0, ez mutatja, hogy a grafikonnak csak az x≤3 abszcisszákon vannak pontjai, másképpen: az |y|=3-x függvény csak az x≤3 helyeken van értelmezve. A grafikon természetesen tükrös az X-tengelyre. ‐ Hasonlóan a második egyenletből |x|=(3+y)/2, eszerint az y=2|x|-3 függvény értékkészlete y≥-3, és grafikonja tükrös az Y tengelyre.
 
Márki László (Budapest, Fazekas M. gyak. g. II. o. t.)

 
II. megoldás. Eltávolíthatjuk az abszolút érték jelét négyzetre emeléssel és négyzetgyökvonással is, ugyanis |x|=x2.
A második egyenletből y=2|x|-3-at az elsőbe helyettesítve
|2|x|-3|=3-x,(2x2-3)2=3-x,4x2-12x2+9=9-6x+x2,x2+2x=4x2,x4+4x3-12x2=x2(x2+4x-12)=x2(x+6)(x-2)=0.


Ennélfogva ha van az egyenletrendszernek megoldása, abban x értéke csak 0, -6, vagy 2 lehet. A megfelelő y értékeket a második egyenletből számítjuk: -3, 9, ill. 1. A (0, -3), (-6, 9), (2, 1) értékpárok az első egyenletet is kielégítik, a rendszernek megoldásai.
 
 Óhegyi Ernő (Budapest, Rákóczi F. g. I. o. t.)
 
Megjegyzés. A negyedfokú egyenlet megoldását az könnyítette meg, hogy kiemelhettük az x2 tényezőt. Ha x-et küszöböljük ki, hasonlóan az
y4-4y3-42y2-36y+81=0
egyenletre jutunk. Az egész gyököket keresve ezt is sikerül megoldani.