Kezdőlap


Feladat:	820. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bély Miklós , Lovász László , Pelikán József
Füzet:	1963/december, 216 - 217. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számelrendezések, Logikai feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/február: 820. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük a kérdéses összeget $S$ -sel.
Ha a kitöltésben nincs $- 1$ -es szám, akkor a szorzat értéke minden sorban és oszlopban $+ 1$ , így $S = 50$ . Minden más esetben cseréljünk ki egy $- 1$ -es bejegyzést $+ 1$ -re és vizsgáljuk meg ennek kihatását $S$ megváltozására. A megváltoztatott bejegyzés sorában a szorzat előjele megváltozik, így a szorzat értéke vagy $+ 1$ -ről $- 1$ -re, vagy $- 1$ -ről $+ 1$ -re változik, tehát vagy 2-vel növekszik, vagy 2-vel csökken. Ugyanez érvényes a megváltoztatott bejegyzés oszlopa számainak szorzatára. Ha mindkét szorzat növekszik, vagy ha mindkettő csökken, akkor $S$ változása 4 egység. Ha pedig egyik szorzat nőtt, a másik csökkent, akkor az új $S$ érték a változtatás ellenére ugyanannyi mint az eredeti. Ezzel a sorbeli és oszlopbeli változási lehetőségek minden párját figyelembe vettük.
Táblázatunk $- 1$ -es bejegyzéseit lépésről lépésre $+ 1$ -re cserélve $S$ értéke ‐ ha egyáltalán változik ‐ mindig 4-gyel változik és a $- 1$ -esek elfogytával, mint láttuk, 50 lesz. Így $S$ minden lehetséges értéke 50-től 4 valamilyen többszörösével különbözik, ezért 4-gyel osztva ugyanannyi maradékot ad, mint 50, vagyis 2-t, nem lehet tehát 0.

Bély Miklós (Győr, Révai M. g. I. o. t.)

II. megoldás. Az állítás érvényes minden olyan hasonlóan kitöltött négyzetes táblázatra, melyben a sorok és oszlopok száma

2 k + 1

, páratlan szám. Tegyük fel, hogy van e táblázatnak olyan csupa

+ 1

és

- 1

bejegyzésekből álló kitöltése, amelyben a sorok menti és az oszlopok menti szorzatok összege 0, és jelöljük egy ilyen kitöltésben a

+ 1

-es szorzatot adó sorok számát

x

-szel, a

- 1

-et adókét

y

-nal. Ekkor a

+ 1

-es szorzatot adó oszlopok

u

száma egyenlő

y

-nal, a

- 1

-et adó oszlopok

v

száma pedig

x

-szel, mert

u

és

v

-re

\begin{matrix} u + v = x + y = (2 k + 1), \\ u \cdot (+ 1) + v \cdot (- 1) + x \cdot (+ 1) + y \cdot (- 1) = 0, \end{matrix}

és innen

u = y

v = x

.
Az

x

és

y

számok egyike páros, másika páratlan. Feltehetjük, hogy

x

páros, mert különben a táblázatnak az egyik átlóra vett tükörképére lesz páros a

+ 1

-es szorzatot adó sorok száma, ti.

u = y

, ezzel a cserével viszont a kérdéses összeg nem változik meg.
Feltevésünk tarthatatlansága kiadódik abból, ha megmutatjuk, hogy a

- 1

-es bejegyzések számát a sorok szerint megállapítva páratlannak találjuk, az oszlopok szerint pedig párosnak. A

+ 1

-es szorzatot adó vonalakon (azaz sorokon is, oszlopokon is) a

- 1

-es bejegyzések száma páros, a

- 1

-et adókon páratlan. Így a sorok szerinti számlálásban

x

, azaz páros számú páros összeadandót és

y

, azaz páratlan számú páratlan összeadandót összegezünk, az első részletösszeg páros, a második páratlan, a végösszeg páratlan, mint állítottuk. A

- 1

-es bejegyzések oszlopok szerinti összeszámlálásában viszont egyrészt

u

, azaz páratlan számú páros összeadandót összegezünk, másrészt

v

, azaz páros számú páratlan összeadandót, mindkét részletösszeg páros, tehát a

- 1

-es bejegyzések száma páros. Ezt akartuk megmutatni.
Nincs tehát a

(2 k + 1) \times (2 k + 1)

-es táblázatnak olyan kitöltése az előírások mellett, melyben a szóban forgó összeg 0.

Pelikán József (Budapest, Fazekas M. gyak. g. I. o.t.)

Megjegyzés: A gyakorlat állítása a kitöltési előírás megtartása mellett

m

sort és

n

oszlopot tartalmazó téglalap alakú táblázatra is igaz, hacsak az

m + n

összeg nem osztható 4-gyel. Mindkét megoldás gondolatmenete átvihető ennek az állításnak a bizonyítására is.

Lovász László (Budapest, Fazekas M. gyak. g. I. o. t.)