Kezdőlap


Feladat:	817. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Körner János
Füzet:	1963/december, 213 - 214. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kombinatorikus geometria síkban, Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/január: 817. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a feladat nem tesz különbséget átlók és oldalak között, elég mindig az $S$ szabályos 13-szög kiválasztott 4 csúcsa által meghatározott $N$ konvex négyszöget tekinteni. Ebben az oldalak és átlók együttes száma 6. Ugyanennyi $S$ -ben a különböző hosszúságú átlók és oldalak száma, mert elég az egy csúcsból kiinduló szakaszokat vizsgálni; a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő egyenes $S$ szimmetriatengelye, és erre nézve a többi 12 csúcshoz húzott szakaszok páronként egymás tükörképei; a tengely egyik partján levő 6 szakasz közül viszont bármely kettő különböző, mert hozzájuk mint az $S$ körül írt $k$ kör húrjához tartozó rövidebb körívek különbözők.
Jelöljük a kör 1, 2, $...$ 6, tizenharmadnyi íve fölötti húrok hosszát $d_{1}, d_{2}, ... d_{6}$ -tal. A $d_{1}$ hosszúságú szakasz $N$ -ben csak oldal lehet, mert egyik oldalán nincs további csúcsa $S$ -nek. A $d_{2}$ hosszúságú húr is oldal lesz, mert ha $N$ -ben átló szerepet kapna, akkor végpontjai össze lennének kötve az egyik partján levő egyetlen $S$ -csúccsal, így pedig $N$ -nek két egyenlő oldala volna, amit a feladat szövege nem enged meg. Képezzük a lehetséges $N$ -eket abból kiindulva, hogy bennük a $d_{1}$ és $d_{2}$ hosszúságú oldalak szomszédosak, vagy szemben levők. A további két oldal fölött együtt $k$ -nak még 10/13 íve van. Ez egymástól és a már meglevőktől különböző ívekből csak 4/13 és 6/13, vagy 3/13 és 7/13 összetételben adódhat ki, fölöttük $d_{4}$ és $d_{6}$ , ill. $d_{3}$ és $d_{6}$ hosszúságú húr van (mert a 7/13 félkörnél nagyobb ív kiegészítő íve a kör 6/13 része), tehát a $d_{6}$ szakasz mindenképpen oldal lesz.
A $d_{1}$ és $d_{2}$ hosszúságú oldalakat szomszédoknak választva nem közös végpontjaikat $d_{3}$ hosszúságú átló köti össze, ezért itt már csak $d_{4}$ és $d_{6}$ hosszú oldalak léphetnek fel. A $d_{4}$ hosszú oldal nem lehet szomszédos a $d_{2}$ hosszúval, mert akkor a nem közös végpontjaikat összekötő átló egyenlő lenne a $d_{6}$ hosszúságú oldallal. A $d_{4}$ -es oldalt $d_{1}$ szabad végpontjához kapcsolva viszont próbálkozásunk sikeres, a végpontjaikat összekötő átló éppen a még hiányzó $d_{5}$ hosszúság (1. ábra).

1. ábra

2. ábra

Legyenek most a

d_{l}

és és

d_{2}

-es oldalak szemben levők. Most nem lehet

N

-nek

d_{4}

hosszúságú oldala, mert ez szomszédos lenne a

d_{2}

-essel, ami ‐ mint láttuk ‐ nem megfelelő. A

d_{3}

d_{6}

-os összetétellel próbálkozva ismét megfelelő

N

-et kapunk, ugyanis egyik átlója fölött

k

rövidebb íve a kör

1 / 13 + 3 / 13 = 4 / 13

része, a másik fölött pedig

2 / 13 + 3 / 13 = 5 / 13

része (2. ábra). A

d_{3}

és

d_{6}

oldalak felcserélése a feltételek szerint nem tekintendő új megoldásnak. A kiválasztási lehetőségek száma tehát 2.

Körner János (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. II. o. t.)

Megjegyzés. Az érkezett megoldások legtöbbje egy oldal hosszának megválasztása után a hozzá kapcsolódó egyik oldal hosszának lehetőségeit próbálgatta végig. Úgy több a sikertelen próbálkozás. Ebben a feladatban eredményesebbnek látszik az elrendezés vezető szempontjának a ,,mit hová tegyek?'' kérdést választani, mint a ,,hová mit tegyek?'' kérdést.