Kezdőlap


Feladat:	813. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Pintér János
Füzet:	1963/december, 207 - 208. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, Oszthatósági feladatok, Teljes indukció módszere, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/január: 813. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az állítás nem igaz, hiszen pl. $n = 2$ -vel a kifejezés értéke $2 168 218 = 1104 \cdot 1963 + 1066$ . Az illető arra alapíthatta állítását, hogy az a páratlan természetes $n$ kitevőkre igaz. Ezt pl. így láthatjuk be: $1963 = 13 \cdot 151$ , és itt 13 és 151 relatív prímek. Elegendő tehát megmutatnunk, hogy az adott $K$ kifejezés minden páratlan $n$ kitevőre osztható 13-mal is, 151-gyel is. Írhatjuk:

\begin{matrix} K = 82^{n} + 454 \cdot 69^{n} = (82^{n} - 69^{n}) + 455 \cdot 69^{n} . \end{matrix}

K

minden pozitív egész

n

-re osztható 13-mal, mert a zárójeles kifejezés osztható az alapok különbségével, ami

82‐69 = 13

, továbbá

455 = 35 \cdot 13

. ‐ Másrészt

\begin{matrix} 82^{n} + 454 \cdot 69^{n} = (82^{n} + 69^{n}) + 453 \cdot 69^{n}, \end{matrix}

ez pedig mínden pozitív páratlan

n

-re osztható 151-gyel, mert a zárójeles kifejezés osztható az alapok összegével, ami

82 + 69 = 151

, továbbá

453 = 3 \cdot 151

. Eszerint

K

osztható 1963-mal, ha

n

páratlan természetes szám.

Pintér János (Budapest, I. István g. I. o. t.)

Megjegyzés. A módosított állítást igazolhatjuk más átalakítás alapján, vagy teljes indukcióval is.