Kezdőlap


Feladat:	811. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Rapcsák Tamás , Recski András
Füzet:	1963/október, 74 - 75. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Paraméteres egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/január: 811. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. a) Azt mutatjuk meg, hogy (1) bal és jobb oldalának $d$ különbsége nem negatív. Valóban, átalakításokkal

\begin{matrix} d = (1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{y}) - 9 = \frac{1}{x y} [(x + 1) (y + 1) - 9 x y] = \\ = \frac{1}{x y} (x + y + 1 - 8 x y) = \frac{1}{x y} (2 - 8 x y) = \frac{2}{x y} [1 - 4 x (1 - x)] = \\ = \frac{2}{x y} {(1 - 2 x)}^{2} \geq 0, \end{matrix}

az egyenlőség

1 - 2 x = 0

x = 1 / 2 = y

esetén teljesül.

b) A vizsgálandó

k

kifejezést

\begin{matrix} k = u + v (1 - u) \end{matrix}

alakban írva a szorzat második tényezője a feltevés szerint pozitív, ezért a szorzat is, tehát

k

is pozitív, az első egyenlőtlenség helyes.
Másrészt

v (1 - u) < 1 - u

, mert

v

pozitív és 1-nél kisebb, így

k < u + (1 - u) = 1

, az állítás második egyenlőtlensége is helyes. Egyenlőség egyik részben sem lehetséges.

Recski András (Budapest, Bolyai J. g. I. o. t.)

II. megoldás. a) Írjunk 9 helyett

z

-t és keressük meg

z

-nek azt a legnagyobb értékét, amellyel (1) még teljesül. (Nyilván

z > 4

, hiszen a bal oldal mindkét tényezője 2-nél nagyobb.) Az I. megoldáshoz hasonlóan

\begin{matrix} d = (1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{y}) - z = \frac{1}{x y} [x + y + 1 + (1 - z) x y] = \\ = \frac{1}{x y} [2 + (1 - z) x y] \geq 0 \end{matrix}

akkor és csak akkor teljesül, ha

\begin{matrix} 2 + (1 - z) x y \geq 0, másképpen 2 \geq (z - 1) x y . \end{matrix}

Mivel

z - 1

pozitív, feltételünk így írható:

\begin{matrix} x y \leq \frac{2}{z - 1} . \end{matrix}

z

-t növelve a jobb oldal nevezője nő, a hányados csökken, így a legnagyobb

z

érték, amely mellett ez az egyenlőtlenség még minden megengedett

x

y

-ra érvényes, az, amelyre a jobb oldal egyenlő az

x y

szorzat legkisebb felső korlátjával. Ismeretes mármost a nem negatív számok számtani és mértani közepe közti egyenlőtlenség, amelyből négyzetre emeléssel és a feltevés felhasználásával

\begin{matrix} x y \leq {(\frac{x + y}{2})}^{2} = \frac{1}{4}, \end{matrix}

és ebben az egyenlőség

x = y = 1 / 2

esetén valóban beáll. Így

x y

legkisebb felső korlátja 1/4. Mostmár a

\begin{matrix} \frac{2}{z - 1} = \frac{1}{4} \end{matrix}

egyenletből

z = 9

. Eszerint (1) fennáll, de tovább nem élesíthető, azaz 9 helyén nagyobb számmal már nem érvényes.

b) Azt kell megmutatnunk, hogy

u + v - u v

a 0 és 1 közé esik, vagy hogy ezt 1-ből levonva 1 és 0 közé eső számot kapunk.

\begin{matrix} 1 - k = 1 - (u + v - u v) = (1 - u) (1 - v) \end{matrix}

mindkét tényezője 1-nél kisebb és pozitív a feladat feltételei mellett, így szorzatukra is ez áll, és ezt akartuk bizonyítani.

Rapcsák Tamás (Debrecen, Kossuth L. gyak. g. II. o. t.)