Kezdőlap


Feladat:	810. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Makk Zsuzsa
Füzet:	1963/október, 73 - 74. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Derékszögű háromszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/december: 810. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a derékszögű háromszög befogóinak, ill. átfogójának a hossza $a$ és $b$ , ill. $c$ , a hozzájuk tartozó súlyvonalak hossza $s_{a}$ , $s_{b}$ , $s_{c}$ . Így $s_{c} = c / 2$ , másrészt $s_{a}$ a $b$ és $a / 2$ befogókkal, $s_{b}$ pedig az $a$ és $b / 2$ befogókkal bíró derékszögű háromszög átfogója, ezért

\begin{matrix} s_{c}^{2} = \frac{c^{2}}{4} = \frac{a^{2} + b^{2}}{4}, s_{a}^{2} = b^{2} + \frac{a^{2}}{4} = \frac{4 b^{2} + a^{2}}{4}, s_{b}^{2} = a^{2} + \frac{b^{2}}{4} = \frac{4 a^{2} + b^{2}}{4} . \end{matrix}

(1)

Ezek szerint

4 s_{a}^{2} = (a^{2} + b^{2}) + 3 b^{2} > 4 s_{c}^{2}

, és hasonlóan

4 s_{b}^{2} = (a^{2} + b^{2}) + 3 a^{2} > 4 s_{c}^{2}

, ezért a súlyvonalak alkotta derékszögű háromszögnek csak valamelyik befogóhoz tartozó súlyvonal, mondjuk

s_{a}

lehet az átfogója. (Ez esetben

s_{a} > s_{b}

és

a < b

.) Így (1) és Pythagorász tétele alapján

\begin{matrix} s_{b}^{2} + s_{c}^{2} = \frac{5 a^{2} + 2 b^{2}}{4} = s_{a}^{2} = \frac{4 b^{2} + a^{2}}{4}, \end{matrix}

amiből rendezéssel

b^{2} = 2 a^{2}

. Ezért

c^{2} = 3 a^{2}

, továbbá

\begin{matrix} s_{c}^{2} = \frac{3 a^{2}}{4}, s_{a}^{2} = \frac{9 a^{2}}{4} = 3 s_{c}^{2}, s_{b}^{2} = \frac{6 a^{2}}{4} = 2 s_{c}^{2}, \end{matrix}

ennélfogva

\begin{matrix} b = a \sqrt[]{2}, c = a \sqrt[]{3}, továbbá s_{b} = s_{c} \sqrt[]{2}, s_{a} = s_{c} \sqrt[]{3} . \end{matrix}

Innen látjuk, hogy

\begin{matrix} s_{c} : s_{b} : s_{a} = a : b : c, \end{matrix}

a második háromszög hasónló az eredetihez, szögeik páronként egyenlők.
Az eredeti háromszögben

tg β = b / a = \sqrt[]{2} \approx 1, 414

, tehát tizedfoknyi pontossággal

β \approx 54, 7^{\circ}

α \approx 35, 3^{\circ}

Makk Zsuzsa (Székesfehérvár, Teleki B. lg. II. o. t.)