Kezdőlap


Feladat:	809. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Domokos Zsuzsa , Nagy Klára , Takács Ferenc
Füzet:	1963/szeptember, 25 - 27. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Magasságvonal, Magasságpont, Párhuzamos szelők tétele, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/december: 809. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A két adott arányból a keresett háromszöghöz hasonlót tudunk szerkeszteni. Ebből alkalmas nagyítással vagy kicsinyítéssel kapunk olyan háromszöget, amelyben a magasságpontnak a megfelelő csúcstól való távolsága $d$ .

1. ábra

Legyen

A B C

a keresett háromszög, amelyben az

M

magasságpont az

A

csúcsból húzott

A D

magasságot

2 : 1

arányban, a

B E

magasságot

3 : 2

arányban osztja. Legyen

E

vetülete az

A D

magasságon

G

. Ekkor

E G

párhuzamos

B C

-vel, mert mindkettő merőleges

A

D-re, így

M E G

és

M B D

hasonló derékszögű háromszögek, átfogóik aránya

2 : 3

, ezért

M G = 2 M D / 3

. Mivel még

M E A

derékszög, azért egy tetszés szerinti

A^{'} D^{'}

szakaszból kiindulva a következőképpen szerkeszthetünk a keresett háromszöghöz hasonlót:

A^{'} D^{'}

-t felosztjuk az

M^{'}

ponttal

A^{'} M^{'} : M^{'} D^{'} = 2 : 1

arányban. Megszerkesztjük az

A^{'} M^{'}

szakasz

M^{'}

felőli

G^{'}

harmadoló pontját (erre teljesül a

G^{'} M^{'} = A^{'} M^{'} / 3 = 2 M^{'} D^{'} / 3

egyenlőség).

G^{'}

-ben és

D^{'}

-ben merőlegest állítunk

A^{'} D^{'}

-re, ezek

g^{'}

, ill.

a^{'}

. Az

A^{'} M^{'}

szakasz fölé ennek egyik partján írt Thalész-félkörrel metsszük

g^{'}

-t

E^{'}

-ben. Végül

a^{'}

-ből

E^{'} M^{'}

-vel kimetsszük

B^{'}

-t,

A^{'} E^{'}

-vel pedig

C^{'}

-t.
Ekkor

A^{'} C^{'}

merőleges

B^{'} E^{'}

-re, tehát az

A^{'} B^{'} C^{'}

háromszögben

A^{'} D^{'}

és

B^{'} E^{'}

magasságszakaszok,

M^{'}

magasságpont, és ez a szakaszokat a kívánt arányban osztja.
Mérjük rá végül az adott

d

szakaszt

M^{'}

-től az

M^{'} C^{'}

félegyenesre, húzzunk párhuzamost a nyert

C

végponton át

C^{'} A^{'}

-vel és

C^{'} B^{'}

-vel. Ezeknek

M^{'} A^{'}

-vel,

M^{'} B^{'}

-vel való metszéspontját

A

-val, ill

B

-vel jelölve az

A B C

háromszög mindenben megfelel a feladat követelményeinek.

Szemkeő Judit (Budapest, Ságvári E. gyak. lg. II. o. t.)

Megjegyzések. 1. Szerkesztésünk más adott osztási arányok mellett is használható. Ha ezek

m : n

és

p : q

(a sorrendet továbbra is a csúcsból számítva), akkor

\begin{matrix} M^{'} G^{'} = \frac{q}{p} \cdot M^{'} D^{'} = \frac{q}{p} \cdot \frac{n}{m} \cdot M^{'} A^{'}, \end{matrix}

és

E^{'}

létrejön, ha

M^{'} G^{'} < M^{'} A^{'}

, azaz

n q < m p

. (Ha itt

m < n

, akkor nyilván

p > q

, azt találtuk tehát, hogy hegyesszögű háromszögben a magasságpont legfeljebb egy oldalhoz képest lehet a magasságszakasz ,,felső'', a csúcs felőli felében.)
2. Ha a magasságpontról tudjuk, hogy egy magasságszakasznak a meghosszabbításán van, akkor ez áll a további két magasságszakaszra is, és a háromszög tompaszögű. Így

M

csak ún. külső osztópont lehet. Ilyen háromszögben

M

a legnagyobb oldalhoz tartozó magasságnak a csúcson túli meghosszabbításán van, és így a fentiek szerint vett arányértéke 1-nél kisebb, a másik két magasságnak viszont a talpponton túli meghosszabbításán van

M

, és az arány értéke 1-nél nagyobb. Az adott két arányt így értelmezve a szerkesztés első felét ‐ lényegében változatlanul ‐ a 2. ábra mutatja.

2. ábra

Nagy Klára és Domokos Zsuzsa (Makó, József A. g. II. ill. I. o. t.)

II. megoldás. A fenti

A^{'} B^{'} C^{'}

háromszög-alakból először az

A^{'} B^{'} M^{'}

háromszöget szerkesztjük meg. Ezzel a feladatot lényegében megoldottuk, ismeretes ugyanis, hogy

C^{'}

A^{'} B^{'} M^{'}

háromszög magasságpontja.

3. ábra

Húzzunk párhuzamost

M^{'}

-n át a

C^{'} B^{'}

és

C^{'} A^{'}

oldallal, messék ezek

A^{'} B^{'}

-t

A^{*}

-ban, ill.

B^{*}

-ban. Ekkor

A^{*}

A^{'}

-től

B^{'}

-ig terjedő szakaszt ugyanolyan arányban osztja, mint

M^{'}

A^{'} D^{'}

szakaszt, vagyis

A^{'} A^{*} : A^{*} B^{'} = 2 : 1

, és hasonlóan

B^{'} B^{*} : B^{*} A^{'} = 3 : 2

. Ezek szerint egy tetszés szerinti

A^{'} B^{'}

szakaszból kiindulva

A^{*}

és

B^{*}

megszerkeszthető.
Másrészt

A^{'} M^{'} A^{*} ∢ = A^{'} D^{'} B^{'} ∢ = 90^{\circ}

, tehát

M^{'}

rajta van az

A^{'} A^{*}

átmérő fölötti

k_{a}

Thalész-körön. Ugyanígy a

B^{*} B^{'}

átmérő fölötti

k_{b}

Thalész kör is átmegy

M^{'}

-n, tehát

M^{'}

megszerkeszthető. Most már az

A^{'} B^{'}

átmérő fölötti

k

Thalész-körből

A^{'} M^{'}

kimetszi

D^{'}

-t,

B^{'} M^{'}

kimetszi

E^{'}

-t, és így a

B^{'} D^{'}

és

A^{'} E^{'}

egyenesek metszéspontja

C^{'}

.
A szerkesztés az adott arányok helyén az

m : n

és

p : q

arányokkal egyértelműen végrehajtható, ha

B^{'}

A A^{*}

szakaszon adódik, más szóval ha

A^{'} A^{*} + B^{'} B^{*} > A^{'} B^{'}

, azaz

\begin{matrix} \frac{A^{'} A^{*}}{A^{'} B^{'}} + \frac{B^{'} B^{*}}{B^{'} A^{'}} = \frac{m}{m + n} + \frac{p}{p + q} > 1. \end{matrix}

Egyszerű átalakítással kapjuk, hogy ‐ ha

m

n

p

q

pozitívok ‐ ez a feltétel egyenértékű a fenti

m p > n q

feltétellel.

Takács Ferenc (Győr, Benedekrendi Czuczor G. g. II. o. t.)