Feladat: 806. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bódi Zoltán 
Füzet: 1963/szeptember, 24 - 25. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Paraméteres egyenletek, Gyakorlat, Másodfokú diofantikus egyenletek
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1962/december: 806. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A keresett d-t kiszámíthatjuk az

(a+d)2+(b+d)2=(c+d)2
egyenletből. A d-t nem tartalmazó tagok kiesnek, rendezéssel
d2+2d(a+b-c)=d[d-2(c-a-b)]=0.
Itt d≠0, ennélfogva a második tényező 0, és így
d=2(c-a-b)(1)
a keresett szám, feltéve, hogy 0-tól különböző. Nyilvánvaló, hogy d egész szám.
(1)-ből akkor adódik d=0, ha c=a+b, és így a2+b2=(a+b)2, amiből ab=0, vagyis a és b közül legalább az egyik 0, a másik pedig egyenlő c-vel. Erre az esetre az állítás nem érvényes.
II. a2=9, b2=16, c2=25-ből a=±3, b=±4, c=±5, így az előjelek különböző összeválogatásával a különböző a, b, c számhármasok száma 2⋅2⋅2=8. Mindegyikben kiszámíthatjuk d, és ebből a+d, b+d, c+d értékét. Az utóbbi számhármasok abszolút értékeit véve:
x=|a+d|,y=|b+d|,z=|c+d|,(2)
egy az x2+y2=z2 egyenletet kielégítő pozitív egész számhármast ad, kivéve ha a számhármasban fellép a 0 érték. Táblázatunk négy sorát a és b 2⋅2 előjelváltozatán végigmenve kapjuk, az elsőben b+d=0, ‐ a triviális 12+02=12 megoldáshoz jutunk ‐, a többi három egy-egy megfelelő megoldást ad:
abcda+db+dc+d345-4-1013-451215817-3-45851213-3-4524212029   

c számára a -5 értéket fölösleges figyelembe venni. Ha ugyanis valamely a, b, c számhármasból az a+d, b+d, c+d számhármast kaptuk, akkor (1)-ből az
a'=-a,b'=-b,c'=-c
számhármashoz d'=-d, és az új számhármas az előzőnek (-1)-gyel való szorzata, tehát (2) szerint egy korábbi számhármas ismétlődik.
Ezek szerint a keresett megoldások száma 3.
 
 Bódi Zoltán (Makó, József Attila g. II. o. t)