Kezdőlap


Feladat:	802. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gömböcz Lajos
Füzet:	1963/május, 217 - 218. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenség-rendszerek grafikus megoldása, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, Lineáris programozás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/november: 802. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

^{$^{*}$} Legyen a készített szendvicsek száma sajtosból $x$ , szalámisból $y$ (nem negatív, egész számok). A kenyérből, sajtból és szalámiból rendelkezésre álló készletet, valamint az $1$ ‐ $1$ szendvicshez felhasznált mennyiségüket figyelembe véve a következő egyenlőtlenségeket kapjuk (egység a $dkg$ ):

\begin{matrix} 5 x + 5 y ≦ 200, x + \frac{5}{3} y ≦ 50, 2 x ≦ 60, y ≦ 20. \end{matrix}

Egyszerűsítve és kiegészítve az anyag felhasználásának összes lehetséges programját leíró egyenlőtlenségrendszer így írható:

\begin{matrix} x + y ≦ 40, 3 x + 5 y ≦ 150, 0 ≦ x ≦ 30, 0 ≦ y ≦ 20; \\ x, y egész . \end{matrix}

A minden feltételnek megfelelő számpárokat a derékszögű koordináta-rendszerben ábrázoló pontok az ábra csíkozott

H

részének belsejében és határszakaszain levő rácspontok.

H

határát az

\begin{matrix} x + y = 40, 3 x + 5 y = 150, x = 0, x = 30, y = 0, y = 20 \end{matrix}

egyeneseknek a következő szögpontok közti szakaszai alkotják:

\begin{matrix} O (0; 0), C_{1} (30; 0), C_{2} (30; 10), C_{3} (25; 15), C_{4} (50 / 3; 20), C_{5} (0; 20) \end{matrix}

a) A készített darabok száma

D = x + y

. A különböző

D

értékekhez tartozó egyenesek párhuzamosak a

H

határegyenesei között szereplő

x + y = 40

egyenessel.

D

növelésével az egyenesek az ábrán jobbra fölfelé tolódnak el. Az utolsó, amelynek még van közös pontja

H

-val, éppen az

x + y = 40

egyenes, és ennek

C_{2} C_{3}

szakasza közös

H

-val; ezen

6

rácspont van. Ezért

D

maximális értéke

40

és ez

6

-féleképpen érhető el:

30

sajtos és

10

szalámis szendviccsel, vagy számukat

29

és

11

-nek,

28

és

12

-nek,

27

és

13

-nak,

26

és

14

-nek, végül

25

és

15

-nek véve.
b) Feltesszük, hogy minden szendvicset eladnak, így a bevétel

B = 1, 4 x + 1, 9 y

lesz, A különböző

B

értékekhez tartozó egyenesek párhuzamosak az ábra

1, 4 x + 1, 9 y = 26, 6

egyenesével (

x = 19

y = 0

és

x = 0

y = 14

). A háromszögvonalzó élét ezzel párhuzamosan tartva (eltolva) és a kezdőponttól távolítva ‐ amivel nyilván a bevétel növekedését követjük ‐ a

C_{3} (25; 15)

pontnál van utoljára közös pont

H

határával, ekkor

B_{{max}_{}^{}} = 25 \cdot 1, 40 + 15 \cdot 1, 90 = 63, 50 Ft

. (így a kenyeret és a vajat teljesen felhasználják, sajtból

10

, szalámiból

5 dkg

megmarad.)
c) Az elkészítés ideje

T = x + 2 y

perc. A különböző

T

értékekhez tartozó egyenesek párhuzamosak a berajzolt

x + 2 y = 30

egyenessel. Minthogy itt csak a maximális darabszámot előállító programokra vagyunk tekintettel, a vonalzó párhuzamos eltolásakor

H

helyett csak a

C_{2} C_{3}

szakaszt tekintjük. Legkisebb

T

-t akkor kapunk, amikor az egyenes a berajzolt helyzetből indulva és

O

-tól távolodva ‐ ami

T

növelésének felel meg ‐, először éri el a szakaszt, vagyis a

C_{2}

pontban. Itt

x = 30

y = 10

, és

T_{{min}_{}^{}} = 50 perc

Gömböcz Lajos (Budapest, I. István Gimn. I. o. t.)

^{$^{*}$}Scharnitzky Viktor-Surányi János: A lineáris programozásról c. Cikk ‐ K. M. L. 25 (1962/11) 97 ‐ 104. o. ‐ felhasználásával.