A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Képzeljük a feladatot megoldottnak. Megmutatjuk, hogy az -en át -vel párhuzamosan húzott egyenes felezi a szakaszt. Jelöljük ki az oldal felezőpontját és -n az felezőpontot. Ekkor a felezőpontja, továbbá az háromszög középvonala, így párhuzamos -vel. Ennek folytán a négyszög trapéz és a középvonala, tehát párhuzamos -vel.
1. ábra Mivel az ponton át -vel párhuzamosan húzott egyenes egyértelműen meg van határozva, így ha fordítva járunk el: -en át húzunk párhuzamost -vel, akkor is annak a szakasz felezőpontján kell átmennie. A középvonalak hosszára vonatkozó összefüggések alapján hosszából meg tudjuk határozni hosszát.
Ennek alapján meg tudjuk határozni -t, abból -t, majd és metszéspontjaként -t. Pl. a következőképpen járhatunk el (előrebocsátjuk, hogy , , egy háromszög oldalainak belső pontjai, így nem lehetnek egy egyenesen). Szerkesszük meg -n az felezőpontot, -nek -n túli meghosszabbítására pedig mérjük rá az és távolságot. Legyen a -en át -gyel párhuzamosan húzott egyenes és az egyenes metszéspontja . Ekkor . Szerkesszük meg az ezzel egyenlő és párhuzamos szakaszt a egyenesnek azon az oldalán, amelyiken van. Legyen a szakasz meghosszabbításának metszéspontja -vel . Ekkor az háromszög középvonala, így az szakasz felével egyenlő. tehát a szakasz felőli harmadoló pontja. -t úgy kapjuk, mint és metszéspontját. Messe a -n át -vel párhuzamosan húzott egyenes -t -ben. A trapéz középvonalára innen | | tehát az háromszög középvonala, és az és oldalak felezőpontja, pedig a oldal -hez közelebbi negyedelő pontja. Ezzel a szerkesztés helyességét bebizonyítottuk. A szerkesztés minden lépése egyértelmű. A háromszög létrejön, a és egyenesek ugyanis nem párhuzamosak, mert és a egyenesnek ugyanarra az oldalára esik, mint , a egyenesnek pedig ugyanarra az oldalára, mint . Ebből következik, hogy az egyenes a szögtartományban halad, tehát metszi a -ből -n át húzott félegyenest.
2. ábra Megjegyzés. Meghatározhatnánk -éhez hasonlóan annak a , ill. pontnak az osztásarányát a háromszög kerületén, amelyet a -n át -vel, ill. -n át -vel párhuzamosan húzott egyenes metsz ki a szemközti , ill. oldalból , . Ennek alapján megszerkeszthetnénk a három oldal irányát és ebből a keresett háromszöget. Az így adódó szerkesztés helyességének igazolása azonban lényegesen bonyolultabb lenne, mint a föntié. Számos versenyző az utóbbi eljárást adta meg ‐ igazolás nélkül.
3. ábra II. megoldás (részlet). Osszuk ketté az szakaszt a ponttal a oldalra előírt arányban, vagyis legyen , továbbá a oldalt az ponttal a oldalra előírt arányban: . Ekkor párhuzamos -vel. Ugyanis -nek -től való távolsága -szor akkora, mint távolsága -től, ez pedig -szerese az háromszög magasságának, tehát távolsága , másrészt hasonlóan ugyanezt a kifejezést kapjuk -nek -től való távolságára. Ha még az oldalon úgy szerkesztjük -t, hogy álljon , akkor hasonlóan és , tehát az háromszög oldalegyeneseit úgy kapjuk, hogy vesszük -n, -n, -en át rendre az -vel, ill. -vel, ill. -vel párhuzamos egyenest.
Pelikán József (Budapest, Fazekas M. gyak. g. I. o. t.) |