Kezdőlap


Feladat:	799. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Kádár Krisztina , Kláris László
Füzet:	1963/május, 214 - 216. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Középpontos tükrözés, Szögfelező egyenes, Párhuzamos szelők tétele, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/november: 799. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Képzeljük a feladatot megoldottnak, legyen a háromszög harmadik csúcsa $A$ , forgassuk rá a $B A$ oldalt $B$ körül $B C$ -nek $B$ -n túli meghosszabbítására, és legyen a végpont $A'$ (1. ábra). Ekkor az $A B A'$ egyenlő szárú háromszög $C B A$ külső szöge kétszer akkora, mint az $A A' B ∢ = A A' C ∢$ . Másrészt a $C B A$ szög a feltevés szerint az $A C B = A C A'$ szögnek is kétszerese, tehát $A A' C ∢ = A C A' ∢$ , az $A C A'$ háromszög egyenlő szárú. Így $A'$ megszerkeszthető, mint $C$ -nek $D$ -re vett tükörképe, és a $B A'$ szakaszban megkapjuk a $B A$ oldal hosszát. Most már $A$ -t az adott $e$ egyenesre $D$ -ben állított $m$ merőlegesből a $B$ körül $B A'$ sugárral írt $k$ kör metszi ki. ‐ A szerkesztés helyessége nyilvánvaló, bizonyítását mellőzhetjük.

1. ábra

Megoldást csak akkor kapunk, ha

m

két pontban metszi

k

-t. Ilyenkor a két metszéspont és vele a két megfelelő

A B C

háromszög is tükrös

e

-re, mint tengelyre. Ha ugyanis

m

érinti

k

-t, akkor egyetlen közös pontjuk

D

, és ez nem használható

A

gyanánt. Ekkor

A' D

k

átmérője,

A' D = 2 B D

, másrészt

A' D = C D

, tehát

C D = 2 B D

, és

D

közte van

B

-nek és

C

-nek, vagyis

D

egybeesik a

B C

szakasz

B

-hez közelebbi

H

harmadoló pontjával.

2. ábra

Hasonlóan kapjuk annak feltételét, hogy

m

és

k

-nak két közös pontja legyen. Mindig ez adódik, ha

B

szétválasztja

D

-t és

C

-t (2. ábra), hiszen ekkor

D

szétválasztja

B

-t és

A'

-t, a

k

középpontját és egy kerületi pontját. Még akkor is metszi egymást

m

és

k

, ha

D

B C

szakaszon van és belső pontja

k

-nak, vagyis

B D < B A'

(1. ábra). Ekkor ugyanis

D A' = D B + B A' > D B + D B = 2 B D

, tehát

C D > 2 B D

D

a fenti

H

-val határolt

B H

szakaszon van. Hasonlóan látható be, hogy ha

D

e

-nek azon a félegyenesén van, melynek kezdőpontja

H

és amely

C

-n át halad, akkor nincs megoldás.

Kádár Krisztina (Budapest, Dózsa Gy. Gimn. II. o. t.)

Megjegyzés. Sok dolgozat szerint a megoldások száma

1

. Ez akkor helyes, ha az

A B C

háromszög méreteit kérdezzük. Itt azonban helyzet-feladattal álltunk szemben,

B

C

D

megadott helyzetéből

A

megfelelő helyzeteit kellett meghatároznunk. (Az említett megállapítást nem tekintettük hiánynak.)

3. ábra

II. megoldás. Messe a

C B A

szög felezője az

A C

oldalt

B_{1}

-ben, és legyen

B_{1}

vetülete

e

-re

E

(3. ábra), akkor

B_{1} B C ∢ = B_{1} C B ∢

, a

B_{1} B C

háromszög egyenlő szárú,

E

felezi a

B C

szakaszt. Másrészt a szögfelező osztás arányára, valamint az

A C B

szög szárain az

A D

és

B_{1} E

párhuzamosokkal létrehozott szeletek arányára ismert tételek alapján

\begin{matrix} A B : B C = A B_{1} : B_{1} C = D E : E C = D E : \frac{B C}{2}, \end{matrix}

tehát

A B = 2 D E

. Eszerint

A

-t a

D

-ben

e

-re emelt

m

merőlegesből

B

körül.

2 D E

sugárral írt

k'

körrel metszhetjük ki.
Ezeket tudva

B_{1}

és

E

megszerkesztését mellőzhetjük. Ha ugyanis

D

-nek

E

-re vett tükörképe

F

, akkor

B A = D F

F

-et pedig úgy is megkaphatjuk, hogy a

B D

szakaszt

C

-ből az irányával ellentétes irányban felmérjük. Az

A B D

derékszögű háromszög megszerkeszthető, ha

B D < 2 D E

vagyis ha

D

B H

szakaszon van, ahol

H

B E

szakasznak

B

-től számítva második harmadolópontja.

Vigassy Lajos

Megjegyzés. Az utóbbi eredmények felhasználásával könnyű megmutatni, hogy a keresett háromszög

D A

magassága mértani középarányos egyrészt a

D C

szakasz, másrészt a

D C - 2 B D

, ill. a

D C + 2 B D

hosszúságú szakasz között, aszerint, hogy

D

B C

szakaszon, ill. a meghosszabbításon van. Ebből is látható, hogy belső

D

pont esetén a megoldhatóság feltétele:

D C ≧ 2 D B

Kláris László (Budapest, Bem J. Gimn. II. o. t.)