Kezdőlap


Feladat:	797. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Berkes I. , Csukás Györgyi , Csörnyei Z. , Folly G. , Földvári G. , Haáder Lea , Káldor Éva , Kiss Árpád , Krassai Éva , Laczkovich M. , Lovász L. , Makk Zsuzsa , Nagy Zsuzsa , Sándor J. , Széchy G. , Szeidl L. , Szemkeő Judit , Szentai Judit , Szilágyi T. , Tongori Éva , Vaskövi I. , Vesztergombi Katalin , Zakits Katalin
Füzet:	1963/május, 212 - 214. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Gyakorlat, Nevezetes azonosságok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/november: 797. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A gyökjel alatti kifejezés $x$ megadott kifejezésének behelyettesítésével így alakul:

\begin{matrix} \frac{a^{2}}{x^{2}} + 1 = \frac{4 a^{2} b^{2}}{({a^{2} - b^{2})}^{2}} + 1 = \frac{4 a^{2} b^{2} + a^{4} - 2 a^{2} b^{2} + b^{4}}{{(a^{2} - b^{2})}^{2}} = \\ = \frac{{(a^{2} + b^{2})}^{2}}{{(a^{2} - b^{2})}^{2}} = {(\frac{{(a^{2} + b^{2})}^{2}}{{(a^{2} - b^{2})}^{2}})}^{2} . \end{matrix}

Így a

K

-ban felhasználandó pozitív négyzetgyök

\begin{matrix} \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} - b^{2}}, ill. - \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} \end{matrix}

aszerint, hogy

b^{2} < a^{2}

, ill.

b^{2} > a^{2}

(egyenlőség esetén

K

-nak nincs értelme). Ezért az első esetben

\begin{matrix} K' = \frac{2 a b}{a^{2} - b^{2}} + \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} = \frac{{(a + b)}^{2}}{(a + b) (a - b)} = \frac{a + b}{a - b}, \end{matrix}

a második esetben pedig

\begin{matrix} K'' = \frac{2 a b}{a^{2} - b^{2}} - \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} = - \frac{{(a - b)}^{2}}{(a + b) (a - b)} = \frac{b - a}{a + b}, \end{matrix}

Az egyszerűsítés megengedett volt, mert ha

b^{2} - a^{2} \neq 0

, akkor sem

a + b

, sem

a - b

nem

0

.
Megjegyezzük még, hogy az

x

-szel való osztás elvégzésében

b \neq 0

korlátozást is feltételeztük.

Tongori Éva (Székesfehérvár, Teleki B. Gimn. II. o. t.)

Megjegyzés. Többen kimondták, hogy

K

mindig pozitív. A megállapítás helyes, mert a négyzetgyök pozitív, az előtte álló tag abszolút értékben kisebb, így ennek előjelétől függetlenül az összeg pozitív. A megoldók indokolása azonban a nyert végső alakot vette figyelembe és csak azt az esetet, ha

a

is,

b

is pozitív, holott betűkkel nem csak pozitív számokat jelölhetünk.

II. megoldás. Az adott kifejezés szerkezete emlékeztet a másodfokú egyenlet gyökképletének következő alakjára:

\begin{matrix} x^{2} + p x + q = 0 -ból x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt[]{{(\frac{p}{2})}^{2} - q} . \end{matrix}

Az az egyenlet, amelynek

K

az egyik gyöke (ti. a nagyobb gyök, amelyhez a diszkrimináns négyzetgyökét

+

jellel vesszük), az ismeretlent

z

-vel jelölve, a következő:

\begin{matrix} z^{2} - \frac{2 a}{x} z - 1 = 0. \end{matrix}

x

adott kifejezését behelyettesítve, szorzással

\begin{matrix} z^{2} - \frac{4 a b}{a^{2} - b^{2}} z - 1 = 0. \end{matrix}

(1)

A második tag együtthatójának

- 1

-szerese így írható:

\begin{matrix} \frac{4 a b}{a^{2} - b^{2}} = \frac{{(a + b)}^{2} - {(b - a)}^{2}}{a^{2} - b^{2}} = \frac{{(a + b)}^{2}}{a^{2} - b^{2}} + \frac{{(b - a)}^{2}}{b^{2} - a^{2}} = \frac{a + b}{a - b} + \frac{b - a}{a + b} . \end{matrix}

(2)

Az átalakítás két tagjának szorzata

- 1

, egyenlő az (1)-beli ismert taggal. És mivel (1)-ben

z^{2}

együtthatója

1

, ezért a gyökök és az együtthatók ismert összefüggései alapján kimondhatjuk, hogy (1) gyökei

\begin{matrix} \frac{a + b}{a - b} és \frac{b - a}{a + b} . \end{matrix}

A két gyök ellentett jelű, mert szorzatuk

- 1

, ezért a nagyobb gyök,

K

keresett értéke, a pozitív gyök. Ez (2) utolsó előtti alakjára tekintettel

\begin{matrix} a^{2} - b^{2} > 0 esetén az első tag: z = K' = \frac{a + b}{a - b}, \\ b^{2} - a^{2} > 0 esetén a második tag: z = K'' = \frac{b - a}{a + b} . \end{matrix}

Szentai Judit (Budapest, Kanizsay D. lg. II. o. t.)