Kezdőlap


Feladat:	796. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bóta Károly
Füzet:	1963/május, 211 - 212. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Szorzat, hatvány számjegyei, Gyakorlat, Esetvizsgálat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/november: 796. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az előírt hat kezdő jeggyel írt $444 445$ szám nem teljes négyzet, mert az $5$ -re végződő négyzetszámok utolsó két jegye $2$ és $5$ . Ezért a keresett $N^{2}$ számnak további számjegyei is vannak. Tegyük fel egyelőre, hogy ezek száma páros és jelöljük $2 k$ -val. Így $N^{2}$ nagyobb az adott jegyekkel kezdődő legkisebb $2 k + 6$ jegyű $444 445 \cdot 10^{2 k}$ számnál, de kisebb a legkisebb olyan $2 k + 6$ jegyűnél, melynek hatodik jegye $1$ -gyel nagyobb az előírt $5$ -ösnél:

\begin{matrix} 444 445 \cdot 10^{2 k} < N^{2} < 444 446 \cdot 10^{2 k} . \end{matrix}

Innen négyzetgyökvonással

N^{2}

alapjára

\begin{matrix} \sqrt[]{444 445} \cdot 10^{k} < N < \sqrt[]{444 446} \cdot 10^{k} . \end{matrix}

(1)

Azt a legkisebb

k

értéket kell megkeresnünk, amelyre (1) szélső tagjai között van egész szám, és erre az esetre

N

gyanánt a legkisebb ilyen egész számot kell vennünk. Innen osztással

\begin{matrix} \sqrt[]{444 445} < \frac{N}{10^{k}} < 444 446. \end{matrix}

Számítsuk ki

444 445

négyzetgyöke (végtelen) tizedes tört alakjának egész jegyeit és néhány tizedes jegyét:

\begin{matrix} \sqrt[]{444 445} = 666, 667 0 ... \end{matrix}

Ez azt jelenti, hogy a

\begin{matrix} 666, 6, 666, 66 666, 667 666, 6670 \end{matrix}

számok négyzete még kisebb

444 445

-nél. Viszont a

\begin{matrix} 666, 7, 666, 67 666, 668 666, 6671 \end{matrix}

(2)

számok négyzete már nagyobb nála. Más szóval az utóbbi sorban azokat a legkisebb számokat írtuk fel, amelyekben a tizedes jegyek száma rendre

1

2

3

4

, és amelyek négyzete már nagyobb

444 445

-nél. Így ezek

N / 10^{k}

lehetséges legkisebb értékét adják

k = 1

2

3

, ill.

4

esetére. Ezeket a számokat (1) bal oldalára írva az egyenlőtlenséget szűkítjük. A növelés miatt a

<

jel helyére léphet

≦

is. Hasonlóan

\begin{matrix} \sqrt[]{444 446} = 666, 667 7 ... \end{matrix}

Ebből felírhatjuk azokat a legnagyobb számokat, amelyekben a tizedes jegyek száma rendre

1

2

3

4

, és amelyek négyzete még kisebb

444 446

-nál:

\begin{matrix} 666, 6, 666, 66 666, 667 666, 6677. \end{matrix}

(3)

Ezek a számok

N / 10^{k}

legnagyobb lehetséges értékét adják, feltéve, hogy

k = 1

2

3

, ill.

4

. Azokhoz a

k

számokhoz tartozik az előírt jegyekkel kezdődő

2 k + 6

jegyű négyzetszám, amelyekhez a (2) alatti legkisebb megengedhető érték nem nagyobb a (3) alatti ugyanannyi tizedes jegyet tartalmazó legnagyobb lehetséges értéknél. Ez először a

4

tizedes jegyű értékekre következik be, így

k

legkisebb lehetséges értéke

4

, és

\begin{matrix} 666, 6671 ≦ \frac{N}{10^{4}} ≦ 666, 6677. \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} 6 666 671 ≦ N ≦ 6 666 677. \end{matrix}

A legkisebb,

N

gyanánt választható érték

6 666 671

, eszerint ha az előírt első hat jegy után páros számú számjegynek kell állnia, akkor

N_{1}^{2} = {6 666 671}^{2}

.
Visszatekintve mondhatjuk, hogy

N_{1}

egymás utáni jegyeit úgy kapjuk, hogy vesszük

444 445

és

444 446

négyzetgyökének első, második,

...

jegyét mindaddig, amíg a megfelelő jegyek megegyeznek, ha pedig a két négyzetgyökben a megfelelő helyeken különböző jegy áll, a kisebb jegynél

1

-gyel nagyobb jegyet írjuk le. (Ez nem lehet

9

-es, mert akkor már egy korábbi jegyben kell különbözniük a gyököknek.)
Hasonlóan járhatunk el abból a feltevésből kiindulva, hogy

N^{2}

-ben az előírt hat jegy utáni további jegyek száma páratlan:

2 k + 1

. Így

\begin{matrix} 444 445 \cdot 10^{2 k + 1} < N^{2} < 444 446 \cdot 10^{2 k + 1}, \\ \sqrt[]{4 444 450} < \frac{N}{10^{k}} < \sqrt[]{4 444 460}, \\ \sqrt[]{4 444 450} = 2 108, 186 ..., \sqrt[]{4 444 460} = 2 108, 188 ... \end{matrix}

és így

\begin{matrix} N_{2}^{2} = {2 108 187}^{2} = 4 444 452 426 969; \end{matrix}

N_{2}

kisebb

N_{1}

-nél, ezért a keresett szám

N_{2}^{2}

Bóta Károly (Budapest, Steinmetz M. Gimn. I. o. t.)

Megjegyzés. Már

444 445

négyzetgyökének egész közelítő értékeiből,

666

-ból és

667

-ből várható, hogy legkésőbb a negyedik tizedes jegyben különböző jegyet ad a két négyzetgyökvonás. Ugyan is

\begin{matrix} {(n + 1)}^{2} - n^{2} = 2 n + 1, \end{matrix}

tehát míg az alap

1

-gyel nő, a négyzet

2 n + 1

-gyel, vagyis

2 n + 1

-szer annyival nő. Ebből kézenfekvő az a sejtés, hogy

444 445

és

444 446

négyzetgyökének egymástól való eltérése kb.

1 / 1333 \approx 6 / 8000 > 0, 0007