Kezdőlap


Feladat:	786. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Berény Tamás , Csanády Gábor
Füzet:	1963/március, 149 - 150. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Gyakorlat, Tizes alapú számrendszer
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/október: 786. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. $4 n$ utolsó jegye 4-es, mert a szorzást szokásosan elkezdve a $4 \cdot 6 = 24$ egyesből 4 egyest írunk le. Így egyszersmind az $n$ -ben a tízes értékű helyen álló jegyet is megkaptuk, folytathatjuk a szorzást: $4 n$ -ben a szorzással adódó $4 \cdot 4$ tízesből és az iménti maradék 2 tízesből 8 tízest írunk le ‐ ez lesz egyszersmind $n$ százasainak száma ‐ és 1 százast viszünk tovább. Továbbra is a $4 n$ -ben leírt számjegy mindig megadja $n$ -nek eggyel magasabb helyi értékű számjegyét. Ezt addig mindenesetre folytatnunk kell, mígnem $4 n$ -ben 6-os jegyet írunk le, és nincs átviendő maradék. Ekkor megkaptuk a legkisebb megfelelő $n$ -et:

\begin{matrix} \begin{matrix} n = & 1 & 5 & 3 & 8 & 4 & 6 & \cdot 4 \\ ↓ & ↖ & ↓ & ↖ & ↓ & ↖ & ↓ & ↖ & ↓ & ↖ & ↓ \\ 4 n = & 6 & 1 & 5 & 3 & 8 & 4 \end{matrix} \end{matrix}

Az eljárást folytatva a nyert 6 jegyű szám ismétlődnék, tehát minden olyan

6 k

jeggyel írt számnak megvan a szóban forgó tulajdonsága, mely az 1 5 3 8 4 6 szám

k

-szor egymás után írásával áll elő.

Berény Tamás (Budapest, Kölcsey F. g. II. o. t.)

Megjegyzés. Fordítva, osztással is megkaphatjuk

n

-et.

4 n

első jegye 6-os, ezért

n

első jegye 1-es. Így

4 n

első két jegye 6, 1, tehát

n

első két jegye 1, 5, ezért

4 n

első három jegye 6, 1, 5 és így tovább, míg

n

-ben először kapunk 6-os jegyet:

\begin{matrix} \begin{matrix} 4 n = & 6 & 1 & 5 & 3 & 8 & 4 \\ ↓ & ↗ & ↓ & ↗ & ↓ & ↗ & ↓ & ↗ & ↓ & ↗ & ↓ \\ n = & 1 & 5 & 3 & 8 & 4 & 6 \end{matrix} \end{matrix}

II. megoldás. Jelöljük a keresett

n

szám jegyeinek számát

k

-val. Az utolsó helyen álló 6-os elhagyásával a többi jegyek sorra 10-ed akkora értékű helyre kerülnek, tehát az

(n - 6) / 10

szám keletkezik, a 6-os eléje írásával pedig a

6 \cdot 10^{k - 1}

-nél nagyobb szám. Így

\begin{matrix} 6 \cdot 10^{k - 1} + \frac{n - 6}{10} = 4 n, amiből 2 (10^{k} - 1) = 13 n . \end{matrix}

Itt a bal oldal osztható 13-mal. A 2-es tényező relatív prím a 13-hoz, ezért

10^{k} - 1

osztható 13-mal. Ez a szám

k

db 9-essel van leírva, tehát

k

egyenlő a

999 ... 9 : 13

osztásban a 0 maradék előszöri fellépéséig felhasznált 9-esek számával, a próba szerint 6-tal:

\begin{matrix} 9 & 9 & 9 & 9 & 9 & 9 & : 13 = 76923, \\ 8 & 9 \\ 1 & 1 & 9 \\ 2 & 9 \\ 3 & 9 \\ 0 \end{matrix}

n

pedig egyenlő a nyert hányados 2-szeresével

n = 1

5 3 8 4 6.

Csanády Gábor (Budapest, Móricz Zs. g. I. o. t.)