Kezdőlap


Feladat:	784. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Berkes István , Gajzágó Éva , Rácz Mihály , Szabó Klára
Füzet:	1963/március, 147 - 148. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Szögfelező egyenes, Beírt kör, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/szeptember: 784. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a keresett háromszög $A B C$ (benne $A C B ∢ = 90^{\circ}$ ), a kérdéses szögfelező $A D$ (vagyis $C A D ∢ = D A B ∢$ ) és az adott szakaszok $C D = a_{1}$ és $D B = a_{2}$ . Legyen továbbá $D$ vetülete $A B$ -n $C_{1}$ (1. ábra). Mivel a szögfelező minden pontja egyenlő távol van a szög két szárától, így $C_{1} D = C D = a_{1}$ . A $B C_{1} D$ derékszögű háromszög az oldalaiból megszerkeszthető: tetszés szerinti $e$ egyenes $C_{1}$ pontjában merőlegest állítunk, felmérjük rá $C_{1} D = a_{1}$ -et és a $D$ körül $a_{2}$ sugárral leírt körrel $e$ -ből kimetsszük $B$ -t. Ezután $B D$ -nek $D$ -n túli meghosszabbítására rámérjük $D C = a_{1}$ -et; a kapott $C$ pontban $B C$ -re emelt merőleges kimetszi $e$ -ből az $A$ csúcsot.

1. ábra

A nyert

A B C

háromszög

C

-nél derékszögű,

B C

-t a

D

pont

a_{1}

és

a_{2}

hosszúságú szakaszokra bontja, végül az

A C D

és

A C_{1} D

derékszögű háromszögek egybevágók, mert átfogójuk közös és

C D = C_{1} D

. Így

C A D ∢ = C_{1} A D ∢

, tehát

A D

felezi a

B A C

szöget.
A

B C_{1} D

háromszög szerkeszthető, ha

C D < D B

, vagyis ha az adott

a_{1}

és

a_{2}

szakaszok különbözők. (A szakaszok szerepét a feladat nem jelölte meg, nyilván csak a kisebb szakasz fekhet a

C A

befogó oldalán). Mindig 1 megoldást kapunk, mert szabadon választhatjuk, hogy

D

-t az

e

-nek, és hogy

B

-t a

C_{1} D

-ek melyik oldalán kívánjuk.

Rácz Mihály (Budapest, Kállai É. ált. isk. VIII. o. t.)

Megjegyzés. A megoldásnak egy más értelmezést is adhatunk. Tudjuk, hogy a szögfelező olyan arányban osztja a szemközti oldalt, mint a szöget közrefogó oldalak aránya, tehát

A B : A C = a_{2} : a_{1}

. Az

a_{2}

átfogójú,

a_{1}

befogójú derékszögű háromszög

(B C_{1} D)

tehát hasonló a keresett háromszöghöz. Ezt kell úgy nagyítanunk, hogy

B C_{1}

-nek megfelelő befogója

a_{1} + a_{2}

hosszúságú legyen. Egy ilyen háromszöget szerkesztettünk meg az

A B C

háromszögben.

Berkes István (Budapest, Fazekas M. gyak. g. I. o. t.)

2. ábra

II. megoldás. Messe az

A D

szögfelező az

A B C

háromszög körülírt körét

E

-ben (2. ábra). Ismeretes, hogy

E

rajta van a

B C = a_{1} + a_{2}

húr felező merőlegesén. Másrészt

A E B ∢ = A C B ∢ = 90^{\circ}

, ezért

E

D B = a_{2}

átmérő fölé írt Thalész-körnek is pontja, tehát

C B = a_{1} + a_{2}

elhelyezése után megszerkeszthető. Ekkor

A

-t a

B E C

háromszög körülírt köréből az

E D

egyenes metszi ki; másképpen:

A

B

-nek e körben átellenes pontja.

Gajzágó Éva (Budapest, Kaffka M. g. II. o. t.)

3. ábra

III. megoldás. Megszerkeszthetjük az

A B C

háromszögbe irt kör

O

középpontját. Ez rajta van egyrészt a

B C A

szög felezőjén, a

C B

-hez

C

-ben

45^{\circ}

szöggel hajló

f

félegyenesen (3. ábra). Másrészt a

D O B

szög, mint az

A O B

háromszög külső szöge, egyenlő a

C A B

és a

C B A

szögek felének összegével, ami

45^{\circ}

, így

O

rajta van azon az

i

köríven is, melynek pontjaiból

D B

-t

45^{\circ}

szögben látjuk. (

i

B C

-nek ugyanazon oldalán legyen, mint

f

O

ismeretében

A

-t a

C

-ben

C B

-re állított merőlegesből akár

D O

-val, akár

B C

-nek

B O

-ra vett tükörképével kimetszhetjük.

Szabó Klára (Celldömölk, Berzsenyi D. g. II. o. t.)