A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyenek a körök a fenti felsorolás rendjében , , , középpontjaik rendre , , , sugaraik rendre , , , . Feltehetjük, hogy . Így és csak a és közti körgyűrűben haladhatnak, -et mindkettő belülről érinti. és egymástól és -tól különböző pontok. Az egyenesen rajta van a , körpár érintkezési pontja, úgyszintén a , pár érintkezési pontja is. E két pont egymástól különböző, mert -nek és -nek nincs közös pontja. Ezért az érintkezési pontok közös egyenese csak az -mal azonos egyenes lehet. Ezen van tehát a , körpár érintkezési pontja is, ennélfogva is, tehát az egész ábra szimmetriatengelye.
1. ábra -nak -n levő pontjai és , a -gyel való érintkezése csak -ban lehetséges, mert esetén és belülről érintkeznének. Így egyszersmind a , körpárnak is érintkezési pontja. Mivel és az -nek két oldalán van, azért és egyike kívülről érinti -t, másikuk pedig magában foglalja azt. (Nem lehet, hogy foglalja magában e körök egyikét, mert -nak is, -nek is van -n kívüli pontja: a -gyel való érintkezési pontjuk.) Válasszuk az indexezést úgy, hogy foglalja magában -t. Végül és egymást a -n levő, -tól különböző pontjukban érintik (1. ábra).
2. ábra Ezek szerint a , , körök belsejét 5 részre osztják (2. ábra). Nincs olyan terület, melyet mind a 4 kör fedne, mert -nak és -nek nincs közös belső pontja. területét még is, is lefedi, ez 3-szor fedett terület, a bizonyításban figyelmen kívül marad. Kétszer fedett a egész területe, valamint -nek -n kívüli része, mert -be is beletartoznak; így a 2-szer fedett területek összege Egyszer van fedve -nek a -on és -en kívüli része, ennek területe Képezzük és különbségét. Ha ezt 0-nak találjuk, az állítást bebizonyítottuk. | | és mivel azért valóban | |
Dankó István (Tokaj, Tokaji F. g. II. o. t.)
|