A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az ötszöget pl. úgy rajzolhatjuk meg, hogy egy oldalú szabályos háromszög egyik oldalára olyan rombuszt rajzolunk, melynek szögei 80 és 100 fokosak (1. ábra). A keletkező ötszöglemez ötödik szöge . Másrészt az szabályos 18-szög szögei -osak. Ezeket lemezeink szögeivel háromféleképpen fedhetjük le: egyetlen lemez -os szögével, vagy két lemez -os és -os szögeinek összeillesztésével, végül két lemez -os szögeinek összeillesztésével. Három lemez nem vehet részt egy szögének lefedésében, mert legkisebb szögeik összege is lenne.
1. ábra Ez azt is jelenti, hogy ha a lefedésben egy lemez egy csúcsa egybeesik egy csúcsával, akkor az onnan kiinduló oldalai közül legalább az egyik egybeesik egy oldalával. Egyébként és a lemezek összes oldalainak egyenlősége alapján elég lesz mindig csak a szögeket tekintenünk; ha két lemez ‐ vagy és egy lemez ‐ egy-egy csúcsa és egy-egy innen kiinduló oldaluk egyenese egybeesik, akkor szomszédos csúcsaik is egybeesnek. Látjuk másrészt, hogy a lemez -os szöge nem vehet részt szögeinek lefedésében, így a lemeznek legfeljebb háromféle oldala illeszkedhet oldalához. Kell is, hogy mindhárom féle oldala illeszkedjék, mert nem illeszkedhet minden lemezből a oldal a -os szög miatt, a és oldalak viszont a -os szög miatt már egyetlen lemezpéldányon egyidejűen illeszkednek. Fedjük le először pl. egy lemez azon oldalával, amelyik mellett -os és -os szög van, -nek az oldalát (a -os szög essék -be, 2. ábra). Ekkor egy lemeznek ugyancsak a -os szöge kerül -be, mégpedig úgy, hogy -os szöge -ba kerüljön, mert különben és -os szögei egymás mellé kerülnének és a lefedetlen -os szögtartományba már nem tudnánk lemezt illeszteni. -hez ekkor úgy kell egy lemez -os szögét illesztenünk, hogy -be -os szöge kerüljön, mert a -os szög nem kerülhet csúcsába. A három lemez közt a sokszög belsejében lefedetlenül maradt tartományba éppen beilleszthető egy lemez, mert és közös csúcsánál -os szögtartomány van lefedve, és közös csúcsánál , s így a fedetlenül maradt szögtartomány -os, ill. -os. Az , , lemezekkel lefedett egyenlő oldalú 9-szög 3 oldala az kerületszakasz ‐ ami kerületének része ‐, másik 3‐3 oldala pedig -os szögének csúcsa körüli -os forgással egymásba megy át, ugyanis a hosszúságú , ill. tört vonalak mentén egymás után található , , ill. , nagyságú belső szögek egymást páronként -ra egészítik ki, az és csúcsnál levő szögek összege pedig , egy szöge. Ezek szerint az , , lemezhármasból öt egymás utáni, körüli -os forgatással, 18 lemezzel egy oldalú szabályos 18-szöget kapunk. Ezzel a lefedés lehetőségét bebizonyítottuk. Meggondolásainkból az is következik, hogy a talált lefedésből minden lefedés megkapható elforgatással és tükrözéssel. Másképpen fogalmazva, elhelyezése után a további lemezeket már csak egyféleképpen helyezhetjük el. Valóban, annyit beláttunk, hogy , , elhelyezését már meghatározza. Viszont egy körüli -os elforgatás -et -ba viszi át, így ez ismét meghatározza egy további lemez elhelyezését: ezek úgy helyezkednek el, mintha , , -et forgattuk volna el körül -kal. Így haladva tovább éppen az előzőkben leírt lefedéshez jutunk, mint elhelyezése után egyedül lehetséges lefedéshez. Ezt akartuk belátni.
Mezei Zsuzsa (Szentendre, Móricz Zs. g. II. o. t.)
Megjegyzés. Többen megjegyezték, hogy az adott lemezzel a sík is hézagtalanul és egyrétűen lefedhető, Bollobás Bélának ,,A sík lefedése egybevágó konvex sokszögekkel'' c. cikkében látható 17. és 20. ábrák szerint.
K. M. L. 22. (1961/5) 198. o. |