Kezdőlap


Feladat:	782. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Mezei Zsuzsa
Füzet:	1963/március, 144 - 146. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Sokszög lefedések, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül sokszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/szeptember: 782. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ötszöget pl. úgy rajzolhatjuk meg, hogy egy $c$ oldalú szabályos háromszög egyik oldalára olyan rombuszt rajzolunk, melynek szögei 80 és 100 fokosak (1. ábra). A keletkező $C_{1} C_{2} C_{3} C_{4} C_{5}$ ötszöglemez ötödik szöge $140^{\circ}$ . Másrészt az $A_{1} A_{2} A_{3} ... A_{17} A_{18} = S$ szabályos 18-szög szögei $160^{\circ}$ -osak. Ezeket lemezeink szögeivel háromféleképpen fedhetjük le: egyetlen lemez $160^{\circ}$ -os szögével, vagy két lemez $60^{\circ}$ -os és $100^{\circ}$ -os szögeinek összeillesztésével, végül két lemez $80^{\circ}$ -os szögeinek összeillesztésével. Három lemez nem vehet részt $S$ egy szögének lefedésében, mert legkisebb szögeik összege is $180^{\circ}$ lenne.

1. ábra

Ez azt is jelenti, hogy ha a lefedésben egy lemez egy csúcsa egybeesik

S

egy csúcsával, akkor az onnan kiinduló oldalai közül legalább az egyik egybeesik

S

egy oldalával.
Egyébként

S

és a lemezek összes oldalainak egyenlősége alapján elég lesz mindig csak a szögeket tekintenünk; ha két lemez ‐ vagy

S

és egy lemez ‐ egy-egy csúcsa és egy-egy innen kiinduló oldaluk egyenese egybeesik, akkor szomszédos csúcsaik is egybeesnek.

\begin{matrix} 2. ábra és 3. ábra \end{matrix}

Látjuk másrészt, hogy a lemez

140^{\circ}

-os szöge nem vehet részt

S

szögeinek lefedésében, így a lemeznek legfeljebb háromféle oldala illeszkedhet

S

oldalához. Kell is, hogy mindhárom féle oldala illeszkedjék, mert nem illeszkedhet minden lemezből a

C_{3} C_{4}

oldal a

100^{\circ}

-os szög miatt, a

C_{2} C_{1}

és

C_{2} C_{3}

oldalak viszont a

160^{\circ}

-os szög miatt már egyetlen lemezpéldányon egyidejűen illeszkednek.
Fedjük le először pl. egy

L_{1}

lemez azon oldalával, amelyik mellett

100^{\circ}

-os és

80^{\circ}

-os szög van,

S

-nek az

A_{1} A_{2}

oldalát (a

80^{\circ}

-os szög essék

A_{2}

-be, 2. ábra). Ekkor egy

L_{2}

lemeznek ugyancsak a

80^{\circ}

-os szöge kerül

A_{2}

-be, mégpedig úgy, hogy

160^{\circ}

-os szöge

A_{3}

-ba kerüljön, mert különben

L_{1}

és

L_{2}

160^{\circ}

-os szögei egymás mellé kerülnének és a lefedetlen

40^{\circ}

-os szögtartományba már nem tudnánk lemezt illeszteni.

A_{4}

-hez ekkor úgy kell egy

L_{3}

lemez

100^{\circ}

-os szögét illesztenünk, hogy

A_{5}

-be

80^{\circ}

-os szöge kerüljön, mert a

140^{\circ}

-os szög nem kerülhet

S

csúcsába.
A három lemez közt a sokszög belsejében lefedetlenül maradt tartományba éppen beilleszthető egy

L_{4}

lemez, mert

L_{1}

és

L_{2}

közös csúcsánál

100^{\circ} + 160^{\circ} = 260^{\circ}

-os szögtartomány van lefedve,

L_{2}

és

L_{3}

közös csúcsánál

140^{\circ} + 140^{\circ} = 280^{\circ}

, s így a fedetlenül maradt szögtartomány

100^{\circ}

-os, ill.

80^{\circ}

-os.
Az

L_{1}

L_{2}

L_{4}

lemezekkel lefedett egyenlő oldalú 9-szög 3 oldala az

A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}

kerületszakasz ‐ ami

S

kerületének

1 / 6

része ‐, másik 3‐3 oldala pedig

L_{4}

60^{\circ}

-os szögének

O

csúcsa körüli

60^{\circ}

-os forgással egymásba megy át, ugyanis a

3 c

hosszúságú

O A_{1}

, ill.

O A_{4}

tört vonalak mentén egymás után található

200^{\circ}

140^{\circ}

, ill.

160^{\circ}

220^{\circ}

nagyságú belső szögek egymást páronként

360^{\circ}

-ra egészítik ki, az

A_{1}

és

A_{4}

csúcsnál levő szögek összege pedig

160^{\circ}

S

egy szöge. Ezek szerint az

L_{1}

L_{2}

L_{4}

lemezhármasból öt egymás utáni,

O

körüli

60^{\circ}

-os forgatással, 18 lemezzel egy

c

oldalú szabályos 18-szöget kapunk. Ezzel a lefedés lehetőségét bebizonyítottuk.
Meggondolásainkból az is következik, hogy a talált lefedésből minden lefedés megkapható elforgatással és tükrözéssel. Másképpen fogalmazva,

L_{1}

elhelyezése után a további lemezeket már csak egyféleképpen helyezhetjük el. Valóban, annyit beláttunk, hogy

L_{2}

L_{3}

L_{4}

elhelyezését

L_{1}

már meghatározza. Viszont egy

O

körüli

60^{\circ}

-os elforgatás

L_{1}

-et

L_{3}

-ba viszi át, így ez ismét meghatározza egy további lemez elhelyezését: ezek úgy helyezkednek el, mintha

L_{2}

L_{3}

L_{4}

-et forgattuk volna el

O

körül

60^{\circ}

-kal. Így haladva tovább éppen az előzőkben leírt lefedéshez jutunk, mint

L_{1}

elhelyezése után egyedül lehetséges lefedéshez. Ezt akartuk belátni.

Mezei Zsuzsa (Szentendre, Móricz Zs. g. II. o. t.)

Megjegyzés. Többen megjegyezték, hogy az adott lemezzel a sík is hézagtalanul és egyrétűen lefedhető, Bollobás Bélának ,,A sík lefedése egybevágó konvex sokszögekkel'' c. cikkében látható 17. és 20. ábrák szerint.¹

¹K. M. L. 22. (1961/5) 198. o.