Feladat: 781. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Mátrai Miklós ,  Szilágyi Gábor 
Füzet: 1963/március, 144. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Elsőfokú diofantikus egyenletek, Logikai feladatok, Szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1962/szeptember: 781. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A kiadott díjak átlaga 4200:7=600 Ft, alacsonyabb a II. díjnál, tehát adtak ki III. díjat. Sőt legalább kettőt, mert egy III. díj kiadása után a többiek átlaga: (4200-300):6=650 Ft, még mindig alacsonyabb a II. díjnál. Három III. díj kiadása esetén viszont a többi díjak átlaga: (4200-3⋅300)/4, már nagyobb volna az I. díjnál is. Ez lehetetlen, tehát két III. díjat ítéltek oda.
A többi öt díj átlaga 3600:5=720 Ft, az I. és II. díj között van, tehát kiadtak legalább egy I. díjat és legalább egy II. díjat is. Mindegyikből egyet véve számba, a maradó három díjra 2100=3⋅700 Ft jut. Ezt I. és II. díjak között már csak úgy oszthatták szét, hogy még három II. díjat adtak ki. Így egy I., négy II. és két III. díj került kiosztásra. Ezek együttesen valóban 1⋅800+4⋅700+2⋅300=4200 forintot tesznek ki.

 
Mátrai Miklós (Hódmezővásárhely, Bethlen G. g. II. o. t.)

 

II. megoldás. Az I., II., III. díjjal jutalmazott pályázók számát rendre x, y, z-vel jelölve és a második összefüggésből adódó egyenletet mindjárt 100-zal egyszerűsítve:
x+y+z=7és(1)
8x+7y+3z=42.(2)
(1)-nek a 3-szorosát (2)-ből kivonva
5x+4y=21,másképpen4(x+y)+x=4⋅5+1.(3)

Eszerint x-et 4-gyel osztva 1-et kapunk maradékul. Így x=1, mert az (1)-ből még szóba jövő x=5 mellett 2 díjra 200 Ft maradna, ami lehetetlen. Így (3)-ból y=4 és (1)-ből z=2.
Könnyen meggyőződhetünk róla, hogy ezek az értékek kielégítik a (2) egyenletet is.
 
Szilágyi Gábor (Ózd, József A. g. I. o. t.)