Kezdőlap


Feladat:	778. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bánkfalvi Emese , Freud Róbert
Füzet:	1963/február, 72 - 73. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Lánctörtek, Gyakorlat, Racionális számok és tulajdonságaik
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/szeptember: 778. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. a) A kifejezéseket egyszerűbb alakra hozhatjuk úgy, hogy az összeadásokat ,,belülről kifelé'' haladva végezzük. Így mindjárt az összeadás utáni osztást is mindig elvégezve

\begin{matrix} A = \frac{1 + \frac{1 + \frac{3}{8}}{3}}{2} = \frac{1 + \frac{11}{24}}{2} = \frac{35}{48}, \\ B = \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{4}{9}}}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{9}{13}}} = \frac{1}{1 + \frac{13}{35}} = \frac{35}{48} . \end{matrix}

Ezek szerint a kérdéses egyenlőség fennáll.
b) A két számot közös nevezőre hozva a nevező

31 \cdot 47 = 1457

, és a számlálók

23 \cdot 47 = 1081

, ill.

35 \cdot 31 = 1085

. Az utóbbi nagyobb, tehát a

35 / 47

tört nagyobb.
Az a szám, amely két adott (különböző) számtól ugyanannyival tér el, a számtani közepük. Ha ugyanis a számok

A

és

B

és pl.

A < B

, akkor

\begin{matrix} \frac{A + B}{2} - A = \frac{B - A}{2}, B - \frac{A + B}{2} = \frac{B - A}{2}, \end{matrix}

és e két különbség egyenlő.
Eszerint esetünkben az

1083 / 1457

törtnek az adott törtektől való eltérése egyenlő. Ennek tizedes tört alakja nem véges:

0, 74330 ...

, ötödik tizedes jegye 0, ezért a hozzá közelebb álló négyjegyű tizedes törtet lefelé kerekítéssel kapjuk:

0, 7433

. Ez tér el körülbelül ugyanannyival az adott két számtól.

Bánkfalvi Emese (Szeged, Ságvári E. gyak. g. I. o. t.)

II. megoldás. a b) részre. Kisebb számokon át jutunk eredményhez, ha az adott számokat (mindkettő pozitív valódi tört) 1-re kiegészítő számokat tekintjük:

\begin{matrix} 1 - \frac{23}{31} = \frac{8}{31}, 1 - \frac{35}{47} = \frac{12}{47}, \end{matrix}

és ezeket közös számlálóra hozzuk:

\begin{matrix} \frac{24}{93}, \frac{24}{94} . \end{matrix}

A másodikban a nevező nagyobb, így a második tört kisebb. Eszerint a

35 / 47

számot kisebb szám egészíti ki 1-re, mint a

23 / 31

-et, tehát

35 / 47

nagyobb a másik számnál.
Az adott számok tizedestört alakja 5 jegyre

0, 74193 ...

, ill.

0, 74468 ...

. Ezekből a számtani közepük 5 tizedes jegyre

0, 74330 ...

, tehát 4 jegyre való kerekítettje

0, 7433

Megjegyzések. 1. Az 1-re kiegészítő számok közös számlálójú alakját 3-mal, ill. 2-vel való bővítés útján kaptuk. Az eredeti számok 3-mal, ill. 2-vel bővített alakját,

69 / 93

-ot és

70 / 94

-et nézve a második szám úgy adódik az elsőből, ha annak számlálóját is, nevezőjét is ugyanannyival, 1-gyel növeljük. Az olvasó könnyen igazolhatja, hogy pozitív számlálójú és nevezőjű valódi törtből ezen az úton mindig nagyobb törtet kapunk.

Freud Róbert (Budapest, Bolyai J. g. II. o. t.)

2. A

B

kifejezést a

35 / 48

szám lánctört kifejtésének szokás nevezni. Benne azt tekintjük lényegesnek, hogy számláló gyanánt csak az 1-et fogadjuk el. Adott szám lánctörtté alakítása fordított sorrendben történhetik, a számítás eleje pl.

\begin{matrix} \frac{275}{48} = 5 + \frac{35}{48} = 5 + \frac{1}{\frac{48}{35}} = 5 + \frac{1}{1 + \frac{13}{35}} = ... \end{matrix}

Egy lánctört első, második, harmadik, stb. közelítő törtjének nevezzük azt a törtet, amely keletkezik, ha az első, a második, a harmadik stb. nevező alatt elhagyjuk az egész számhoz hozzáadandó számot. Esetünkben

35 / 48

első négy közelítő törtje

\begin{matrix} \frac{1}{1} = 1, \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{3}, \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{1}}} = \frac{3}{4}, \frac{8}{11}, \end{matrix}

az ötödik közelítő tört már maga a szám.
A lánctörtkifejtésnek bonyolult alakja ellenére nagy fontosságot ad az, hogy közelítő törtjei közönséges törtté alakítva a nevezőhöz képest aránylag nagy pontossággal közelítik meg a lánctörtbe fejtett számot.