A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Képzeljük megoldottnak a feladatot, és legyen a keresett trapéz , melyben , és az adott szakaszok, és az adott szögek. Feltehetjük, hogy , ekkor a -n át -vel húzott párhuzamos -t vagy egy belső pontban metszi, vagy -ben, ezért .
1. ábra Innen azt is látjuk, hogy ismerjük -nek és , részeinek -ben vett látószögét, ugyanis . Ezért , és kijelölése után (ti. ) a 3 látószögkörív közül bármelyik kettőt megrajzolva metszéspontjukban megkapjuk -t, majd az háromszöget paralelogrammává kiegészítve -t. (A szimmetria miatt a látószögköríveket elég -nek egyik partján megrajzolni.) látóköríve csak , valamint , azaz és mellett használható. E feltételek teljesülése esetén mindig van megoldás. Vegyük ugyanis -nek nyílású és -nek nyílású látószögkörívét, és rajzoljuk meg -beli érintőjüknek a használt félsíkon levő ill. félegyenesét. Az első félérintő az félegyenessel szöget, a második félérintő -vel szöget zár be, ekkora szögben látjuk az egyes íveket -ből. E két szög összege , és ez nyilván nagyobb -nál, mert . A -kal szemben mutatkozó többlet megadja a két félérintő közti szög (a szögtartományokkal kétszer lefedett szög) nagyságát. Ebben a szögben mindkét ívet látjuk, tehát van egyetlen közös pontjuk, és az .
Keresszegi Hajnalka (Pápa, Petőfi S. g. II. o. t.)
II. megoldás. Feltesszük, hogy és . Ekkor a szárak -n, ill. -n túli meghosszabbításai metszik egymást egy pontban. A külső szög tétele szerint , ennélfogva szerkeszthetünk egy az -hez hasonló háromszöget. Ezt kiegészítjük egész alakzatunk nagyított (vagy kicsinyített) képévé. és hasonló háromszögek, ezért , ennek alapján az oldalon megszerkeszthetjük a -nek megfelelő pontot. Most már -t -ból a -lal -on át húzott párhuzamos metszi ki, végül az , , , , pontok alakzatát úgy nagyítjuk, hogy pl. megfelelője egyenlő legyen -vel.
2. ábra Egy célszerű végrehajtás: Egy hosszúságú szakasz egyik partjára -ban felmérjük -t, a másik partjára -ban -t; ekkor és szabad szárainak metszéspontja . Mérjük fel -tól felé -t, jelöljük a végpontot -lal, ekkor -t a -on át -lal párhuzamosan húzott egyenes metszi ki -ból. megszerkesztése mellőzhető. Vegyük most -t azonosnak -lal, tehát ez lesz a nagyítás középpontja. Ekkor -t a félegyenesen kapjuk -től távolságban (a felmérés elmaradhat, ha kitűzésekor körül sugarú kört írtunk), -t a -n átmenő -lal párhuzamos metszi ki -ból, -t pedig az -n át -lal párhuzamosan húzott egyenes -ból. A mondott szerkesztések egyértelműen végrehajthatók, tehát a feladatnak 1 megoldása van.
Mátrai Miklós (Hódmezővásárhely, Bethlen G. g. I. o. t.)
|