Kezdőlap


Feladat:	773. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Berecz Ágota , Földes Antónia , Gazsó János , Gecsey L. , Gerencsér László , Harkányi Gábor , Hirka András , Huhn András , Jahn László , Lehel Csaba , Lőrincz Cs. , Major Pál , Malatinszky G. , Marosi Judit , Mátrai M. , Mészáros György , Móri A. , Nagy Klára , Raisz P. , Rejtő Lídia , Soós András , Szabó M. , Szentai Judit , Szép András , Szidarovszky Klára , Tamás E. , Tamás G.
Füzet:	1963/február, 69 - 70. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek nevezetes tételei, Magasságvonal, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/május: 773. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a keresett $H$ háromszög szögei $α$ , $β$ , $γ$ , legyen $α < β < γ < 90^{\circ}$ , és írjuk ezeket az $α = 60^{\circ} + δ$ , $β = 60^{\circ} + ε$ , $γ = 60^{\circ} + ζ$ alakban. Így

\begin{matrix} δ + ε + ζ = 0^{\circ}, \end{matrix}

(1)

és nyilván

δ < 0^{\circ}

ζ > 0^{\circ}

. Az első talpponti háromszögnek,

T_{1}

-nek szögei a 709. gyakorlat (1) képletei szerint

\begin{matrix} α_{1} = 180^{\circ} - 2 α = 60^{\circ} - 2 δ, β_{1} = 180^{\circ} - 2 β = 60^{\circ} - 2 ε, \\ γ_{1} = 180^{\circ} - 2 γ = 60^{\circ} - 2 ζ \end{matrix}

(csúcsuk rendre az

α

-val,

β

-val, ill.

γ

-val szemben levő oldalon van).

T_{1}

hegyesszögű, ezért talpponti háromszögének,

T_{2}

-nek az a szöge, melynek csúcsa

T_{1}

-nek az

α_{1}

-gyel szemben fekvő oldalán van:

\begin{matrix} α_{2} = 180^{\circ} - 2 α_{1} = 60^{\circ} + 4 δ . \end{matrix}

A másik két szög kifejezésének felírását mellőzhetjük, mert nyilvánvalóan ebből úgy kaphatjuk, hogy

δ

helyére

ε

-t, ill.

ζ

-t írunk. Hasonlóan

H

-nak 3., 4.,

...

, 15. talpponti háromszögében az

α_{2}

-ből számítható

α_{3}

-ra, az ebből számítható

α_{4}

-re,

...

α_{15}

-re rendre fennáll

\begin{matrix} α_{3} = 180^{\circ} - 2 α_{2} = 60^{\circ} - 8 δ = 60^{\circ} + {(- 2)}^{3} δ, α_{4} = 180^{\circ} - 2 α_{3} = 60^{\circ} + {(- 2)}^{4} δ, ..., \\ α_{15} = 60^{\circ} + {(- 2)}^{15} δ = 60^{\circ} - 2^{15} δ, & (2) \end{matrix}

mert a feltétel szerint a

T_{2}, T_{3}, ..., T_{14}

, talpponti háromszögek mindegyike hegyesszögű. Hasonlóan

\begin{matrix} β_{15} = 60^{\circ} - 2^{15} ε és γ_{15} = 60^{\circ} - 2^{15} ζ . \end{matrix}

(3)

T_{15}

akkor hegyesszögű, ha legnagyobb szöge hegyesszög. Ez a szög

α_{15}

, mert az

α < β < γ

-ból adódó

δ < ε < ζ

-t

- 2^{15}

-nel szorozva, ami által a nagyságviszonyok ellentétesre fordulnak:

\begin{matrix} - 2^{15} δ > - 2^{15} ε > - 2^{15} ζ, \end{matrix}

itt pedig mindhárom kifejezéshez

60^{\circ}

-ot adva (2)-t és (3)-at kapjuk ‐ ez viszont az egyenlőtlenségek irányát nem változtatja ‐, tehát

\begin{matrix} α_{15} > β_{15} > γ_{15} . \end{matrix}

Így

δ

-ra a következő korlátozást kapjuk:

\begin{matrix} α_{15} < 90^{\circ}, 2^{15} δ > 60^{\circ} - 90^{\circ} = - 30^{\circ} = - 108 000'', \end{matrix}

amiből osztással

\begin{matrix} δ > - \frac{108 000''}{2^{15}} = - \frac{3375''}{2^{10}} = - \frac{3375''}{1024} > - 4'', \end{matrix}

tehát

δ

lehetséges értékei

- 1''

- 2''

- 3''

.
Másrészt

ζ

csak olyan szög lehet, hogy

γ_{15} > 0^{\circ}

legyen. Ebből az előbbihez hasonlóan

\begin{matrix} ζ < \frac{60^{\circ}}{2^{15}} = \frac{216 000''}{2^{15}} = \frac{3375''}{512} < 7'', \end{matrix}

(4)

tehát

ζ

lehetséges értékei:

1''

2''

3''

4''

5''

6''

.
Ezek szerint egy megfelelő

H

-alakot ad pl. a

δ = - 3''

ζ = 5''

és az ezekhez (1)-ből adódó

ε = - 2''

értékrendszer, vagyis

\begin{matrix} α = 59^{\circ} 59' 57'', β = 59^{\circ} 59' 58'', γ = 60^{\circ} 0' 5'' . \end{matrix}

Az ebből képezett

T_{i}

háromszög

i = 1, 2, ..., 14

esetén ugyancsak hegyesszögű, mert szögeinek

60^{\circ}

-tól való eltérése a fentiek szerint rendre

2^{i} \cdot 3''

, ill.

2^{i} \cdot 2''

, ill.

2^{i} \cdot 5''

, a lehetséges legnagyobb eltérés

i = 14

-gyel és (4) felhasználásával

\begin{matrix} 2^{14} \cdot 5'' < 2^{14} \frac{60^{\circ}}{2^{15}} = 30^{\circ}, \end{matrix}

tehát

T_{14}

szögei

30^{\circ}

és

90^{\circ}

közötti szögek.
A

ζ = 6''

értéket nem használhatjuk, mert ez csak

δ = ε = - 3''

-cel teljesülhet, egyenlő szárú háromszöget viszont nem fogadhatunk el.
Könnyű áttekinteni az összes megoldásokat is. A fentin kívül csak a következő értékrendszerek megfelelők:

\begin{matrix} δ, ε, ζ = & - 3'', - 1'', 4''; \end{matrix}