Kezdőlap


Feladat:	772. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Leporisz György
Füzet:	1963/február, 67 - 68. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/május: 772. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen

\begin{matrix} \sqrt[n]{x + 1} = u, \sqrt[n]{x - 1} = v; ekkor \sqrt[n]{x^{2} - 1} = u v, \end{matrix}

és osszuk az így átalakított egyenletet

v^{2}

-nel (

v = 0

csak

x = 1

mellett volna lehetséges, ez azonban nem gyöke az egyenletnek):

\begin{matrix} u^{2} + v^{2} = 4 u v; {(\frac{u}{v})}^{2} - 4 \frac{u}{v} + 1 = 0. \end{matrix}

Innen, mindjárt visszahozva

x

kifejezéseit

\begin{matrix} \frac{u}{v} = \sqrt[n]{\frac{x + 1}{x - 1}} = 2 \pm \sqrt[]{3}, végül \end{matrix}

¹x1,2(n)=(2±3)n+1(2±3)n-1.

Képletünk

n = 2,3

és 4-re a következőket adja:

\begin{matrix} x^{(2)} = \frac{{(2 \pm \sqrt[]{3})}^{2} + 1}{{(2 \pm \sqrt[]{3})}^{2} - 1} = \frac{8 \pm 4 \sqrt[]{3}}{6 \pm 4 \sqrt[]{3}} = \frac{(4 \pm 2 \sqrt[]{3}) (3 \mp 2 \sqrt[]{3})}{(3 \pm 2 \sqrt[]{3}) (3 \mp 2 \sqrt[]{3})} = \frac{\mp 2 \sqrt[]{3}}{9 - 12} = \pm \frac{2}{\sqrt[]{3}} . \\ x^{(3)} = \frac{{(2 \pm \sqrt[]{3})}^{3} + 1}{{(2 \pm \sqrt[]{3})}^{3} - 1} = \frac{27 \pm 15 \sqrt[]{3}}{25 \pm 15 \sqrt[]{3}} \cdot \frac{5 \mp 3 \sqrt[]{3}}{5 \mp 3 \sqrt[]{3}} = \frac{\mp 6 \sqrt[]{3}}{- 10} = \pm \frac{3 \sqrt[]{3}}{5}, \\ x^{(4)} = \frac{{(7 \pm 4 \sqrt[]{3})}^{2} + 1}{{(7 \pm 4 \sqrt[]{3})}^{2} - 1} = \frac{98 \pm 56 \sqrt[]{3}}{96 \pm 56 \sqrt[]{3}} \cdot \frac{12 \mp 7 \sqrt[]{3}}{12 \mp 7 \sqrt[]{3}} = \pm \frac{7}{4 \sqrt[]{3}}, \end{matrix}

ill. tizedes alakú közelítő törtekkel:

\begin{matrix} x^{(2)} \approx \pm 1, 155, x^{(3)} \approx \pm 1, 039, x^{(4)} \approx \pm 1, 010. \end{matrix}

Leporisz Gyögy (Budapest, Piarista g. II. o. t.)

Megjegyzések. 1. A két gyök mindig egymás negatívja, ugyanis

\begin{matrix} x_{1}^{(n)} & = \frac{{(2 + \sqrt[]{3})}^{n} + 1}{{(2 + \sqrt[]{3})}^{n} - 1} = \frac{[{(2 + \sqrt[]{3})}^{n} + 1] [{(2 - \sqrt[]{3})}^{n} - 1]}{[{(2 + \sqrt[]{3})}^{n} - 1] [{(2 - \sqrt[]{3})}^{n} - 1]} = \\ = \frac{{(2 - \sqrt[]{3})}^{n} - {(2 + \sqrt[]{3})}^{n}}{2 - [{(2 + \sqrt[]{3})}^{n} + {(2 - \sqrt[]{3})}^{n}]} = \frac{{(2 + \sqrt[]{3})}^{n} - {(2 - \sqrt[]{3})}^{n}}{[{(2 + \sqrt[]{3})}^{n} + {(2 - \sqrt[]{3})}^{n}] - 2}, \\ x_{2}^{(n)} & = \frac{[{(2 - \sqrt[]{3})}^{n} + 1] [{(2 + \sqrt[]{3})}^{n} - 1]}{[{(2 - \sqrt[]{3})}^{n} - 1] [{(2 + \sqrt[]{3})}^{n} - 1]} = \frac{{(2 + \sqrt[]{3})}^{n} - {(2 - \sqrt[]{3})}^{n}}{2 - [{(2 + \sqrt[]{3})}^{n} + {(2 - \sqrt[]{3})}^{n}]} = - x_{1}^{(n)} . \end{matrix}

Ez abból is látható, hogy az

u / v

-re kapott egyenlet két gyöke egymás reciproka, és

u / v

-ben

x

helyett ‐

x

-et írva az a reciprokába megy át. (

x_{1}^{(n)}

számlálója és nevezője pozitív.) Az is könnyen látható, hogy a hatványok kifejtésével a nevezőben csak egész tagok maradnak meg, a számlálóban megmaradó tagok pedig

\sqrt[]{3}

egész többszörösei.
2. Az

n

-edik gyökök mindig valósak. Ugyanis a gyökjelek alatt (1) bal oldalán minden (valós)

x

mellett nem negatív szám áll, másrészt a talált gyökökkel mindig

| x_{1,2} | > 1

, tehát a jobb oldali gyökjel alatti szám pozitív. Valóban

\begin{matrix} x_{1}^{(n)} = \frac{{(2 + \sqrt[]{3})}^{n} + 1}{{(2 + \sqrt[]{3})}^{n} - 1} = 1 + \frac{2}{{(2 + \sqrt[]{3})}^{n} - 1} > 1, \end{matrix}

és így

x_{2}^{(n)} = - x_{1}^{(n)} < - 1

¹A felső indexszel arra utalunk, hogy az

n

gyökkitevőtől függően különböző egyenletek gyökeiről van szó.