| Feladat: | 771. matematika gyakorlat | Korcsoport: 14-15 | Nehézségi fok: könnyű |
| Megoldó(k): | Fiala István | ||
| Füzet: | 1963/március, 141 - 143. oldal |  PDF | MathML |
|
| Témakör(ök): | Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Számelrendezések, Számtani sorozat, Gyakorlat | ||
| Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1962/május: 771. matematika gyakorlat | ||
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Az első sorban tagról tagra mutatkozó növekedést -szel jelölve ennek és az előre beírt számok közül háromnak a felhasználásával minden további mező számát kifejezhetjük. Ugyanis így az első sor első négy száma , , , lesz, tehát a növekedés az első oszlopban , a második oszlopban pedig . Ezek alapján kifejezhetjük az első két oszlop számait, majd ezeknek ugyanabba a sorba eső két-két számából a további sorok növekedését, végül az összes hátralevő mezők számait: Ezek után -et abból számíthatjuk ki, hogy a még fel nem használt 21-es szám a hátralevő mezők egyikén áll. ugyanis az első két oszlop növekedése , ill. , és a további sorok növekedése rendre , , , ill. . Látjuk, hogy a növekedés a 3‐5. oszlopokban is mezőről mezőre ugyanaz, ti. , ill. , ill. . Fiala István (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. I. o. t.) II. megoldás. Jelöljük az első sor első számát -val, az első sor és az első oszlop tagról tagra való növekedését -gyel, ill. -gyel, végül -vel azt a számot, amennyivel a második sor növekedése nagyobb -nél. Ezek közt keresünk összefüggéseket a megadott számok felhasználásával. A 2. sorbeli növekedés , az első két sor első két-két száma , , ill. , , a 2. oszlopbeli növekedés Ezek szerint a 3‐5. sorok , , és a 3‐5. oszlopok , , növekedései, az ott álló első két-két szám alapján vagyis bármelyik sor és bármelyik oszlop növekedési számát előre kiszámíthatjuk úgy, hogy -t megszorozzuk a sor, ill. az oszlop sorszámánál 1-gyel kisebb számmal és ehhez hozzáadjuk az 1. sorbeli, ill. 1. oszlopbeli növekedési számot. Ennek alapján megmutatjuk, hogy ha a hátralevő mezőket pl. a sorok szerinti tagról tagra ugyanannyival való növekedés követelménye alapján töltjük ki, akkor a beírt számok egyszersmind az oszlopok szerint tagról tagra ugyanannyival való növekedés követelményének is eleget tesznek. Ha ugyanis és egymástól függetlenül a 3, 4, 5 számok bármelyikét jelenti, akkor az -ik sor -ik száma ‐ az ezen sor első számából a növekedési szám -szeresének hozzáadásával ‐
Ezek alapján , , és értékét abból az egyenletrendszerből számíthatjuk ki, amelyet (1)-ből kapunk, ha és helyére rendre egy-egy az ábrába előre beírt szám sorának, ill. oszlopának sorszámát téve a kifejezést egyenlővé tesszük a beírt számmal Megjegyzések. 1. A fentiekből azt is látjuk, hogy 5 soros, 5 oszlopos táblázat helyett akárhány sort és akárhány oszlopot tartalmazó hasonló ábra teljes kitöltéséhez elegendő négy szám megadása, hacsak azok négy független egyenletre vezetnek. A 727. gyakorlat megoldásához többen tévesen megjegyezték, hogy a sorok és oszlopok számát növelve az előre beírt számok számát is növelni kell. ‐ Érkezett olyan megjegyzés is, hogy a táblázat növelhető, de csak négyzet alakban ‐ nyilván ez is téves. 2. Több dolgozat szerint a feladat nem oldható meg. Ezek hallgatólag számon csak természetes számot értettek, de néha ki is mondták ezt. A feladat ilyen korlátozást nem tartalmazott. A negatív számok bevezetése után a csökkenést negatív számmal való növekedésnek is mondhatjuk, ezért a fenti eredményt azon a címen sem lehet elvetni, hogy az első oszlop számai nem növekszenek. 3. Mind a 727., mind az ezen gyakorlatra érkezett dolgozatokban gyakran olvasható ilyesmi: ,,14-es számjegy'', ,,21-es számjegy''. Vigyázzunk a pontos fogalmazásra és ne keverjük össze a rokon fogalmakat. |