Kezdőlap


Feladat:	770. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Lehel Csaba
Füzet:	1963/március, 140 - 141. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/május: 770. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A körpálya bármely $P$ pontját annak az $O P$ ívnek a hosszával jellemezzük, amelyet $B$ a maga $O$ kiinduló pontjától $P$ -ig megtett az első körüljárásban. Így $A$ -nak $K$ kiinduló pontjára $O K = 20$ m. Elég lesz $A$ forduló pontjait vizsgálnunk, két egymás utáni forduló pont között ugyanis $A$ egyenletesen mozog.

1. ábra

Az első forduló pontig

A

üldözi

B

-t. Az induláskor

B

-hez képest

20 m

volt a hátránya, és ez az első forduló pontig a megengedett

10 m

-re csökken.

A

másodpercenként

3 - 1 = 2 m

-rel csökkenti hátrányát, ezért a fordulásig

10 : 2 = 5 mp

telik el. Eddig

A

15 m

-t tesz meg, tehát a pálya

20 + 15 = 35 m

jelzésű

A_{1}

pontjába jut.

B

eddig megtett útja pedig

5 m

, tehát ekkor

B

5 m

jelzésű

B_{1}

pontban van.
A mozgás második szakaszában

A

szembe halad

B

-vel. Kezdeti

30 m

-es távolságuk mp-enként

3 + 1 = 4 m

-rel csökkenve

5 mp

alatt fogy a megengedett

10 m

-re. Eddig

A

éppen visszaér

K

-ba,

B

pedig

5 m

-rel halad túl

B_{1}

-en új,

B_{2}

helyzetére

O B_{2} = 10 m

.
A harmadik szakaszban

A

ismét üldözi

B

-t, mint az első szakaszban. Ez azonban kétszer annyi ideig,

10 mp

-ig tart, mert

A

-nak a szakasz végéig

30 m

-ről

10 m

-re, vagyis

20 m

-rel kell csökkentenie hátrányát. E

10 mp

alatt

A

útja áthalad

O

-n és az

A_{3}

pontba jut, amelyre

O A_{3} = K A_{3} - K O = 10 m

B

pedig

10 m

-rel előbbre, a

B_{3}

-ba jut, amelyre

O B_{3} = 20 m

.
Ezzel megkaptuk

A

két egymás utáni, azonos jellegű fordulópontját, ti. amikor üldözés után szembefordul

B

-vel. A további, váltakozva

B

-vel szembefutó és üldöző mozgásszakaszok időtartama nyilván váltakozva ugyancsak

5

, ill.

10 mp

. Eszerint

A

először

5 mp

-ig

B

mozgásával egy irányban halad a pályán, utána pedig szakaszosan ismétlődve

5 mp

-ig visszafelé, majd

10 mp

-ig előre halad.
További kérdés az, ha a mozgásokat a pályához képest nézzük, adódik-e a mozgás során

A

-nak és

B

-nek a pályán olyan helyzete, amely egyszer már előfordult. Innen kezdve ugyanis a mozgás szakaszai a pályához képest is ismétlődnek.

B

mozgása a pályán

40 mp

-enként ismétlődik, amennyi idő alatt egyszer körülfutja a pályát;

A

-nak ugyanolyan jellegű (azaz pl. üldözésből szembe haladásra átváltó) forduló pontjai viszont

15 mp

-enként. E két időköz legkisebb közös többszörösében,

120 mp

-ben megkapjuk azt a legkisebb időközt, amelynek elején és végén

B

-nek a pályához viszonyított helyzete is és

A

helyzete

B

-hez képest is ugyanaz.

120 mp

eltelte után

B

valóban

O

-ban van, addig 3 teljes körüljárást tett. Viszont

A

-nak a kezdeti

5 mp

-es szakasz utáni

115 mp

-es mozgásában 7-szer ismétlődik az

5 mp

-es visszafelé és

10 mp

-es előremozgás, végül a fennmaradó

10 mp

-ből ismét

5 mp

-ig visszafelé, és

5 mp

-ig előre mozog. Így

7 \cdot 5 + 5 = 40 mp

-ig mozgott visszafelé és

5 + 7 \cdot 10 + 5 = 80 mp

-ig előre; annyit haladt tehát előre, mintha csak

40 mp

-ig mozgott volna előre. Ez alatti útja

120 m

, a pálya hosszának 3-szorosa, tehát

120 mp

elteltével

A

is a maga

K

kiindulópontjában van. (Azonban e pillanatban

K

nem forduló pontja

A

-nak.)
Eredményünk a mozgások grafikonjából is kiolvasható. Azt, hogy

A

csak

10 m

-re közelítheti meg

B

-t, helyettesíthetjük a következő feltétellel:

B

egy

20 m

hosszú test (a köríven mérve). Így a grafikonon

B

elejét és végét külön tüntetjük fel (

B'

ill.

B''

) és a köztük levő szakaszt tölti ki

B

\begin{matrix} 2. ábra \end{matrix}

O

ponton való áthaladások úgy mutatkoznak, hogy

A

B

B'

B''

grafikonja a

40 m

-es pályahossznak megfelelő egyenesen megszakad és az

O

-nak megfelelő egyenes ugyanazon időponthoz tartozó pontjából a szakadás előtti irányban folytatódik. (Az

O

pont kb.

5 m

-es környezetében lefolyó mozgásrészek grafikonját jobb áttekintés végett fent, ill. lent megismételtük.) Az

A

előre és visszafelé való mozgásszakaszait ábrázoló egyenesszakaszok az időtengelyhez képest ugyanakkora szöggel emelkednek, ill. süllyednek, és mindig

B'

, és

B''

grafikonjai között maradnak. A grafikonon is látható, hogy

120 mp

eltelte után mind

B

, mind

A

a kiindulópontjában van, előbb viszont ez egyidejűleg nem fordul elő.
Hasonlóan lehet belátni, hogy a mozgás akkor is

120 mp

-enként ismétlődik, ha

A

B

-vel szembe indul el.

Lehel Csaba (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. I. o. t.)